Yaser
Me gustaría saber cómo son las tres últimas derivadas. Paso a paso, por favor. Gracias.
3)
Tienes la expresión de la funcón a derivar:
f(x) = (x / (10⁴*x + 1)⁴)12,
a continuación distribuyes la potencia "principal" de exponente 12, entre el numerador y el denominador que tienes en su argumento, y queda:
f(x) = x12 / ((10⁴*x + 1)⁴)12,
aquí aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia en el denominador (recuerda que debes multiplicar los exponentes), y queda:
f(x) = x12 / (10⁴*x + 1)48,
ahora aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:
f(x) = x12 * (10⁴*x + 1)-48,
a continuación planteas las expresiones de los factores, y las expresiones de sus derivadas, y queda:
1°)
u = x12,
cuya derivada queda expresada (oberva que puedes derivar en forma directa):
u' = 12*x11,
2°)
v = (10⁴*x + 1)-48,
cuya derivada queda expresada (observa que debes aplicar Regla de la Cadena, y que la expresión: 10⁴ es constante):
v' = -48*(10⁴*x + 1)-49*10⁴ = -48*10⁴*(10⁴*x + 1)-49,
a continuación planteas la expresión general de la derivada de una multiplicación de dos funciones:
(u*v)' = u' * v + u * v',
aquí sustituyes la expresión de la función a derivar en el primer miembro, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:
f ' (x) = 12*x¹¹ * (10⁴*x + 1)-48 + x12 * (-48*10⁴*(10⁴*x + 1)-49),
ahora resuelves el coeficiente en el segundo término, y queda:
f ' (x) = 12*x¹¹*(10⁴*x + 1)-48 - 48*10⁴*x12*(10⁴*x + 1)-49.
Tienes la expresión de la función a derivar:
f(x) = √( 1 + √( 1 + √( 1 + √(x) ) ) ),
a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios, y queda:
f(x) = ( 1 + ( 1 + ( 1 + x1/2 )1/2 )1/2 )1/2,
aquí derivas (observa que debes aplicar Regla de la Cadena varias veces, y observa que en los argumentos d elas primeras tres potencias fraccionarias tienes suma de dos términos, con el primer término constante), y queda:
f ' (x) =
= (1/2)*( 1 + ( 1 + ( 1 + x1/2 )1/2 )1/2 )-1/2 *
* (1/2)*( 1 + ( 1 + x1/2 )1/2 )-1/2 *
* (1/2)*( 1 + x1/2 )-1/2 *
* (1/2)*x-1/2.
Aquí nuevamente te recomendamos que sigas este desarrollo con mucha paciencia, lápiz y papel.
5)
Tienes la expresión de la función a derivar:
f(x) = (x² + √(x) + 1/x) / (∛(x - 3)/2 - 3*x),
a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios en el segundo término en el numerador y en el primer término en el denominador, aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos en el tercer término en el numerador, resuelves el coeficiente en el primer término en el denominador, y queda:
f(x) = (x² + x1/2 + x-1) / ((1/2)*(x - 3)1/3 - 3*x),
aquí aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:
f(x) = (x² + x1/2 + x-1) * ((1/2)*(x - 3)1/3 - 3*x),
a continuación planteas las expresiones de los factores, y las expresiones de sus derivadas, y queda:
1°)
u = x² + x1/2 + x-1,
cuya derivada queda expresada (oberva que puedes derivar término a término en forma directa):
u' = 2*x + (1/2)*x-1/2 + (-1)*x-2 = 2*x + (1/2)*x-1/2 - x-2,
2°)
v = (1/2)*(x - 3)1/3 - 3*x,
cuya derivada queda expresada (observa que puedes derivar término a término en forma directa):
v' = (1/2)*(1/3)*(x - 3)-2/3 = (1/6)*(x - 3)-2/3 - 3,
a continuación planteas la expresión general de la derivada de una multiplicación de dos funciones:
(u*v)' = u' * v + u * v',
aquí sustituyes la expresión de la función a derivar en el primer miembro, sustituyes expresiones en el segundo miembro, y queda:
f ' (x) =
= (2*x + (1/2)*x-1/2 - x-2) * ((1/2)*(x - 3)1/3 - 3*x) +
+ (x² + x1/2 + x-1) * ((1/6)*(x - 3)-2/3 - 3).
Espero haberte ayudado.