¿Alguna ayuda?

1)

Aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios en el denominador, y tu integral queda:

I = ∫ ((x⁴ + 1)/x^1/2)*dx, 

a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:

I = ∫ (x⁴ + 1)*x^-1/2*dx,  

aquí distribuyes, y queda:

I = ∫ (x⁴*x^-1/2 + x^-1/2)*dx,

ahora resuelves la multiplicación de potencias con bases iguales en el primer término (recuerda que debes sumar exponentes), y queda:

I = ∫ (x^7/2 + x^-1/2)*dx, 

a continuación integras término a término (observa que tienes dos potencias con exponentes numéricos distintos de -1), y queda:

I = (2/9)*x^9/2 + 2*x^1/2 + C.

2)

Aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios en los dos primeros términos en el numerador, y tu integral queda:

I = ∫ ((x^1/2 + x^1/3 + 4)/x²)*dx, 

a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:

I = ∫ (x^1/2 + x^1/3 + 4)*x^-2*dx,  

aquí distribuyes, y queda:

I = ∫ (x^1/2*x^-2 + x^1/3*x^-2 + 4*x^-2)*dx,

ahora resuelves las multiplicaciones de potencias con bases iguales en los dos primeros términos (recuerda que debes sumar exponentes), y queda:

I = ∫ (x^-3/2 + x^-5/3 + 4*x^-2)*dx, 

a continuación integras término a término (observa que tienes tres potencias con exponentes numéricos distintos de -1), y queda:

I = -2*x^-1/2 - (3/2)*x^-2/3 - 4*x^-1 + C. 

3)

Aplicas la propiedad de las potencias con exponentes fraccionarios qen el primer término, resuelves la expresión en el denominador en el segundo término: ∛(8*x⁶) = ∛(2³*(x²)³) = 2*x², y tu integral queda:

I = ∫ ((3/7)*x*x^5/7 + 2*x⁴/(5*2*x²))*dx,

a continuación resuelves la multiplicación de potencias con bases iguales en el primer término (recuerda que debes sumar exponentes), resuelves el coeficiente y resuelves la división de potencias con bases iguales en el segundo término (recuerda que debes restar exponentes), y queda:

I = ∫ ( (3/7)*x^12/7 + (1/5)*x² )*dx,

aquí integras término a término (observa que tienes tres potencias con exponentes numéricos distintos de -1), y queda:

I = (3/7)*(7/19)*x^19/7 + (1/5)*(1/3)*x³ + C,

ahora resuelves coeficientes, y queda:

I = (3/19)*x^19/7 + (1/15)*x³ + C.  

Espero haberte ayudado.