¿Alguna ayuda?

1)

Tienes la integral indefinida:

I = ∫ (4/(5*e^3*x))*dx =

aquí aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:

= ∫ (4*e^-3*x/5)*dx =

a continuación extraes el factor y el divisor constantes, y queda:

= (4/5) * ∫ e^-3*x*dx = (*),

ahora oberva que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):

w = -3*x,

que al diferenciar queda:

dw = -3*dx,

aquí multiplicas por -1/3 en ambos miembros, y queda:

(-1/3)*dw = dx,

a continuación sustituyes expresiones en la integral señalada (*), y la integral en estudio queda:

= (4/5) * ∫ e^w*(-1/3)*dw = 

ahora extraes el factor constante, resuelves el coeficiente, y queda:

= -(4/15) * ∫ e^w*dw =

aquí integras en forma directa, y queda:

= -(4/15)*e^w + C = 

a continuación sustituyes la expresión correspondiente a la variable auxiliar w, y queda:

= -(4/15)*e^-3*x + C.

2)

Tienes la integral indefinida:

I = ∫ (1/8^{4*x + 2})*dx =

aquí aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:

= ∫ 8^{-(4*x + 2)}*dx =

a continuación expresas a la base de la potencia com exponencial natural, y queda:

= ∫ (e^Ln(8))^{-(4*x + 2)}*dx = 

a continuación aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia, y queda:

= ∫ e^{-Ln(8)*(4*x + 2)}*dx = (*),

ahora oberva que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):

w = -Ln(8)*(4*x + 2),

que al diferenciar queda:

dw = -Ln(8)*4*dx,

aquí multiplicas por -1/(4*Ln(8)) en ambos miembros, y queda:

(-1/(4*Ln(8)))*dw = dx,

a continuación sustituyes expresiones en la integral señalada (*), y la integral en estudio queda:

= ∫ e^w*(-1/(4*Ln(8)))*dw = 

ahora extraes el factor constante, y queda:

= (-1/(4*Ln(8))) * ∫ e^w*dw =

aquí integras en forma directa, y queda:

= (-1/(4*Ln(8)))*e^w + C = 

a continuación sustituyes la expresión correspondiente a la variable auxiliar w, y queda:

= (-1/(4*Ln(8)))*e^{-Ln(8)*(4*x + 2)} + C. 

3)

Tienes la integral indefinida:

I = ∫ x*e^5*x²*dx = ∫ e^5*x²*x*dx =  

y a continuación observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):

w = 5*x²,

que al diferenciar queda:

dw = 10*x*dx,

aquí multiplicas por 1/10 en ambos miembros, y queda:

(1/10)*dw = x*dx,

ahora sustituyes expresiones, y la integral en estudio queda:

= ∫ e^w*(1/10)*dw =

a continuación extraes el factor constante, integras en forma directa, y queda:

= (1/10)*e^w + C = 

aquí sustituyes la expresión correspondiente a la variable auxiliar w, y queda:

= (1/10)*e^5*x² + C.