¿Alguna ayuda?

1)

Tienes la expresión de la función a integrar:

f(x) = (5^2*x - 5^3*x)/5^5*x,

a continuación distribuyes el denominador, entre los dos términos que tienes en el numerador, y queda:

f(x) = 5^2*x/5^5*x - 5^3*x/5^5*x,

aqui resuelves las divisiones de potencias con bases iguales (recuerda que debes restar exponentes), y queda:

f(x) = 5^-3*x - 5^-2*x,

ahora expresas a la base de las potencias en forma exponencial (recuerda: 5 = e^Ln(5)), y queda:

f(x) = (e^Ln(5))^-3*x - (e^Ln(5))^-2*x,

a continuación aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia en ambos términos (recuerda que debes multiplicar los exponentes, resuelves coeficientes en los exponentes, y queda:

f(x) = e^-3*Ln(5)*x - e^-2*Ln(5)*x (*).

Luego, tienes la integral en estudio:

∫ ((5^2*x - 5^3*x)/5^5*x)*dx =

a continuación sustituyes la expresión de la función a integrar señalada (*), y queda:

= ∫ (e^-3*Ln(5)*x - e^-2*Ln(5)*x)*dx =

aquí separas la integral en términos, y queda:

= ∫ e^-3*Ln(5)*x*dx - ∫ e^-2*Ln(5)*x*dx = 

a continuación integras en forma directa en ambos términos (recuerda: ∫ e^a*x*dx = (1/a)*e^a*x + C con la expresión a que es constante, y con la constante general de integración C), y queda:

= (1/(-3*Ln(5)))*e^-3*Ln(5)*x - (1/(-2*Ln(5)))*e^-2*Ln(5)*x + C =

aquí resuelves coeficientes en ambos términos (presta atención a los signos), y queda:

= -(1/(3*Ln(5)))*e^-3*Ln(5)*x + (1/(2*Ln(5)))*e^-2*Ln(5)*x + C.
 

2)

Tienes la expresión de la función a integrar:

f(x) = 7^{4*x - 2}, 

a continuación expresas a la base de las potencias en forma exponencial (recuerda: 7 = e^Ln(7)), y queda: 

f(x) = (e^Ln(7))^{4*x - 2},

aquí aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia (recuerda que debes multiplicar los exponentes), y queda: 

f(x) = e^{Ln(7)*(4*x - 2)}, 

ahora distribuyes en el exponente, resuelves expresiones en sus dos términos, y queda:

f(x) = e^{4*Ln(7)*x - 2*Ln(2)} (*).

Luego, tienes la integral en estudio:

∫ 7^{4*x - 2}*dx =

a continuación sustituyes la expresión de la función a integrar señalada (*), y queda:

= ∫ e^{4*Ln(7)*x - 2*Ln(2)}*dx =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Planteo auxiliar:

observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):

w = 4*Ln(7)*x - 2*Ln(2),

que al diferenciar queda (observa que las expresiones 4*Ln(7) y 2*Ln(2) son constantes):

dw = 4*Ln(7)*dx,

aquí divides por 4 y por Ln(7) en ambos miembros, resuelves el coeficiente en el primer miembro, y queda:

(1/Ln(7))*dw = dx.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

ahora sustituyes expresiones en el argumento, y la integral en estudio queda:

= ∫ e^w*(1/Ln(7))*dw =  

a continuación extraes el factor constante, y queda:

= (1/Ln(7)) * ∫ e^w*dw =

aquí integras en forma directa (observa que indicamos con C a la constante general de integración), y queda:

= (1/Ln(7))*e^w + C,

ahora susituyes la expresión correspondiente a la variable auxilar w, y queda:

= (1/Ln(7))*e^{4*Ln(7)*x - 2*Ln(2)} + C. 

3)

Tienes la expresión de la función a integrar:

f(x) = √(7)/3^2*x, 

a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:

f(x) = √(7)*3^-2*x,  

aquí expresas a la base de las potencias en forma exponencial (recuerda: 3 = e^Ln(3)), y queda: 

f(x) = √(7)*(e^Ln(3))^-2*x, ,

ahora aplicas la propiedad de una potencia cuya base es otra potencia (recuerda que debes multiplicar los exponentes), resuelves la expresión en el exponente, y queda: 

f(x) = √(7)*e^-2*Ln(3)*x (*).

Luego, tienes la integral en estudio: 

∫ (√(7)/3^2*x)dx =

a continuación sustituyes la expresión de la función a integrar señalada (*), y queda:

= ∫ √(7)*e^-2*Ln(3)*x*dx =

aquí extraes el factor constante, y queda:

= √(7)* ∫ e^-2*Ln(3)*x*dx = 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Planteo auxiliar:

observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):

w = -2*Ln(3)*x,

que al diferenciar queda (observa que la expresión -2*Ln(3) es constantes):

dw = -2*Ln(3)*dx,

aquí divides por -2 y por Ln(3) en ambos miembros, resuelves el coeficiente en el primer miembro, y queda:

(-1/(2*Ln(3)))*dw = dx.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------  

ahora sustituyes expresiones en el argumento, y la integral en estudio queda:

= √(7)* ∫ e^w*(-1/(2*Ln(3)))*dw =  

a continuación extraes el factor constante, resuelves el coeficiente, y queda:

= (-√(7)/(2*Ln(3))) * ∫ e^w*dw =

aquí integras en forma directa (observa que indicamos con C a la constante general de integración), y queda:

= (-√(7)/(2*Ln(3)))*e^w + C,

ahora susituyes la expresión correspondiente a la variable auxilar w, y queda:

= (-√(7)/(2*Ln(3)))*e^-2*Ln(3)*x + C.  

4)

Tienes la integral indefinida:

∫ (1/e^{7*x - 3})*dx = 

a continuación aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:

= ∫ e^{-(7*x - 3)}*dx = 

aquí distribuyes la expresión en el exponente, y queda:

= ∫ e^{-7*x + 3}*dx =  

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Planteo auxiliar:

observa que puedes plantear la sustitución (o cambio de variable):

w = -7*x + 3,

que al diferenciar queda):

dw = -7*dx,

ahora multiplicas por -1/7 en ambos miembros, y queda:

(-1/7)*dw = dx. 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

ahora sustituyes expresiones en el argumento, y la integral en estudio queda: 

= ∫ e^w*(-1/7)*dw =   

a continuación extraes el factor constante, y queda:

= (-1/7) * ∫ e^w*dw =

aquí integras en forma directa (observa que indicamos con C a la constante general de integración), y queda:

= (-1/7)*e^w + C = 

ahora sustituyes la expresión correspondiente a la variable auxiliar w, y queda:

= (-1/7)*e^{-7*x + 3} + C.

Espero haberte ayudado.

Genuinamente no lo entiendo. Llevo ya meses viéndote por aquí pidiendo integrales y derivadas elementales. Hoy en día hay herramientas muy potentes para resolver paso a paso cada cuestión que mandas más detalladamente y claro, ¿cuál es el motivo de todo esto?

De acuerdo completamente contigo Mike. En una ocasión ya lo dije, pero al parecer pretende editar un solucionario de derivadas e integrales, o algo por el estilo.

Es tedioso en extremo ver algo así.

Te dejo estás para ver si ocupas un poco más de tiempo.