Ana Gerardo (Any)
queria saber si alguien me explica el ejercicio dos con teoria y explicacion de como hacer ese ejercicio desde ya gracias
Hola Ana.
Ahí vamos con tu consulta.
Observa nuestra figura, en la que tienes la representación de la función en estudio que tienes en tu enunciado, más algunas referencias adicionales.
A continuación, vamos con las consideraciones previas que debes tener en cuenta para resolver las cuestiones.
Aquí observa que tienes señalados cuatro sectores, en la región comprendida entre el eje OX y la gráfica de la función "f":
1°)
un cuadrado (amarillo) cuyo lado mide 2 unidades, cuya base coincide con el intervalo [-5;-3] en el eje OX, y cuya altura corresponde con el intervalo [0;2] en el eje OY, y cuya área queda expresada:
A₁ = L² = 2² = 4 (1),
y observa que este cuadrado se encuentra "por encima" del eje OX,
2°)
un triángulo rectángulo (rojo), cuya base mide 4 unidades y coincide con el intervalo [-3:1] en el eje OX, y cuya altura mide 2 unidades y corresponde con el intervalo [0;2] en el eje OY, y cuya área queda expresada:
A₂ = B*H/2 = 4*2/2 = 4 (2),
y observa que este triángulo se encuentra "por encima" del eje OX,
3°)
un triángulo rectángulo (azul), cuya base mide 1 unidad y coincide con el intervalo [1;2] en el eje OX, y cuya altura mide 2 unidades y corresponde con el intervalo [-2;0] en el eje OY, y cuya área queda expresada:
A₃ = B*H/2 = 1*2/2 = 1 (3),
y observa que este triángulo se encuentra "por debajo" del eje OX,
4°)
un triángulo rectángulo (marrón), cuya base mide 3 unidades y coincide con el intervalo [2;5] en el eje OX, y cuya altura mide 2 unidades y corresponde con el intervalo [-2;0] en el eje OY, y cuya área queda expresada:
A₄ = B*H/2 = 3*2/2 = 3 (4),
y observa que este triángulo se encuentra "por debajo" del eje OX,
a continuación, recuerda la relación entre el área determinda por la gráfica de una función, y un intervalo incluido en el eje OX:
I)
si la función toma valores positivos, como ocurre en los casos señalados (1°) (2°), entonces:
la integral definida de la función es igual al área de la región determinada por su gráfica y el eje OX,
II)
si la función toma valores negativos, como ocurre en los casos señalados (3°) (4°), entonces:
la integral definida de la función es igual al opuesto del área de la región determinada por su gráfica y el eje OX.
a)
Tienes la integral definida:
-4∫1 f(x)*dx =
aquí observa que esta integral se desarrolla sobre el intervalo: [-4;1] = [-4;-3] ∪ [-3;1], incluido en el eje OX, por lo que puedes presentarla como la suma de dos integrales:
= -4∫-3 f(x)*dx + -3∫1 f(x)*dx =
a continuación observa que la función toma valores positivos para ambas integrales, observa que en el primer término tienes la expresión que corresponde a la mitad del rectángulo (amarillo) descrito en el inciso (1°), y que en el segundo término tienes la expresión del triángulo rectángulo (rojo) descrito en el inciso (2°), por lo que sustituyes las expresiones de las áreas correspondientes según la propiedad señalada (I), y queda:
= A₁/2 + A₂ =
aquí reemplazas los valores señalados (1) (2), resuelves, y queda:
= 4/2 + 4 = 6.
b)
Tienes la integral definida:
-3∫5 f(x)*dx =
aquí observa que esta integral se desarrolla sobre el intervalo: [-3;5] = [-3;1] ∪ [1;2] ∪ [2;5], incluido en el eje OX, por lo que puedes presentarla como la suma de tes integrales:
= -3∫-1 f(x)*dx + 1∫2 f(x)*dx + 2∫5 f(x)*dx =
a continuación observa que la función toma valores positivos para la primera integral, y que toma valores positivos para la segunda y para la tercer integral, observa que en el primer término tienes la expresión que corresponde al triángulo rectángulo (rojo) descrito en el inciso (2°), que en el segundo término tienes la expresión que corresponde al triángulo rectángulo (azul) descrito en el inciso (3°), y que en el tercer término tienes la expresión que corresponde al triángulo rectángulo (marrón) descrito en el inciso (4°), por lo que sustituyes las expresiones del área correspondiente según la propiedad señalada (I) en el primer término, sustituyes las expresiones de los opuestos de las áreas correspondientes en el segundo y en el tercer término, y queda:
= A₂ + (-A₃) + (-A₄) =
aquí resuelves signos en los dos últimos términos, y queda:
= A₂ - A₃ - A₄ =
aquí reemplazas los valores señalados (2) (3) (4), resuelves, y queda:
= 4 - 1 - 3 = 0.
c)
Tienes la integral definida:
1∫ -3 f(x)*dx =
a continuación permutas los límites de integración (recuerda que la integral cambia su signo), y queda:
= --3∫1 4*f(x)*dx =
aquí extraes el factor constante, y queda:
= -4*-3∫1 f(x)*dx =
aquí observa que esta integral se desarrolla sobre el intervalo: [-3;1], y observa que la función toma valores positivos para esta integral, y que tienes la expresión del triángulo rectángulo (rojo) descrito en el inciso (2°), por lo que sustituyes la expresión del área correspondientes según la propiedad señalada (I), y queda:
= -4*A₁ =
aquí reemplazas el valores señalados (2), resuelves, y queda:
= -4*4 = -16.
Espero haberte ayudado.