Area triangulo sabiendo coordenadas

Te va como producto escalar 

Adjunto respuesta, la correcta es la (E): 11 u²

Cálculo automático del área del triángulo con Geogebra

Claramente, hay otras formas de hacerlo. Por ejemplo, buscas la pendiente de la recta AB y con ella calculas la pendiente de la altura relativa a ese lado por la relación de perpendicularidad m₁•m₂=-1. Con la pendiente de esa altura hallada y el punto C determinas la ecuación de la altura y el punto de intercepto de esta con la recta AB (punto M). Luego determinas la distancia entre punto M y punto C y entre punto A y el B. Luego aplicas fórmula del área del triángulo: A=(1/2)(AB)(MC)

Hola Max. Efectivamente, hay muchísimas maneras de resolver este ejercicio. La manera más rápida, para mi gusto, es la del cálculo vectorial. Aún así, como puede que no hayas avanzado tanto en la materia, voy a resolverlo de más formas:

1.- MÉTODO POR CÁLCULO VECTORIAL

El área de un triángulo viene definida directamente por dos de los vectores que conforman sus lados. Si nos fijamos en un triángulo normal, la fórmula de su área vendría a ser base*altura/2. Ahora bien, si a la base la llamamos un vector b y a la hipotenusa otro vector h, tenemos que la altura es igual a h*sin(θ) siendo theta el ángulo entre ambos vectores. Es decir, el área sería b*h*sin(θ) /2 o, lo que es lo mismo, |b×h|/2.

Particularizamos: 

b=|AB|=(7,2)-(1,1)=(6,1)

h=|BC|=(3,5)-(7,2)=(-4,3)

Ahora bien, el área sería |(6,1)×(-4,3)|/2 = 22/2=11u^2

2.- GEOMETRÍA

Si lo quieres hacer también por geometría, puedes hacer un análisis gráfico y te darás cuenta de que la altura del triángulo es meramente la distancia de la recta de vector director b hacia el vértice opuesto, es decir, el único que no usamos para definirlo (el (3,5)). Sabiendo esto, solo debes hacer el módulo de la base y ya tienes de nuevo el mismo resultado en el área.

3.- INTEGRAL/CÁLCULO ANALÍTICO

Este sería el más complejo e innecesario, solamente si te lo piden explícitamente: determinas las ecuaciones de las rectas del triángulo y, según los puntos, creas un dominio en el que integras para obtener el área del mismo.

Como ves, hay muchas maneras para llegar al resultado, para mí el más sencillo si lo quieres hacer en tan poco tiempo sería lo primero, sin duda.

Vamos con nuestro aporte.

Observa nuestra figura, que consiste en la figura que te muestra el colega Cesár, más algunas referencias adicionales:

- tienes señalados los vértices del triángulo T: A(1;1), B(7;2) y C(3;5), que tienes indicados en tu enunciado,

- hemos agregado los puntos M(7;1), N(7;5) y Q(1;5),

y observa que cada uno de ellos comparte abscisa (coordenada "x") con uno de los puntos A, B y C, y comparte ordenada (coordenada "y") con otro de dichos puntos:

-- el punto M(7;1) comparte abscisa con el vértice B(7;2), y comparte ordenada con el vértice A(1;1),

-- el punto N(7;5) comparte abscisa con el vértice B(7;2), y comparte ordenada con el vértice C(3;5), 

-- el punto Q(1;5) comparte abscisa con el vértice A(1;1), y comparte ordenada con el vértice C(3;5).

Luego, observa que los puntos A, M, N y Q determinan un rectángulo, cuyas dimensiones son:

base = distancia(A;M) = 6 unidades, altura = distancia(M;N) = 4 unidades,

por lo que la expresión de su área es:

Ar = base*altura = (6 u)*(4 u) = 24 u².

Luego, observa que el triángulo T que tienes en estudio (sombreado con amarillo) y el rectángulo AMNQ (cuya área ya tienes calculada) determinan a su vez otros tres triángulos rectángulos, cuyas dimensiones son:

--- para el triángulo Ta: base = distancia(A;M) = 6 u, altura = distancia(M;B) = 1 u, por lo que la expresión de su área es:

Aa = base*altura/2 = (6 u)*(1 u)/2 = 3 u²,

--- para el triángulo Tb: base = distancia(C;N) = 4 u, altura = distancia(B;N) = 3 u, por lo que la expresión de su área es:

Ab = base*altura/2 = (4 u)*(3 u)/2 = 6 u², 

--- para el triángulo Tc: base = distancia(Q;C) = 2 u, altura = distancia(A;Q) = 4 u, por lo que la expresión de su área es:  

Ac = base*altura/2 = (2 u)*(4 u)/2 = 4 u².

Luego, observa que la unión de los cuatro triángulos es igual al rectángulo mencionado, por lo que tienes que la suma de las áreas de los cuatro triángulos es igual al área del rectángulo, y puedes plantear la ecuación:

A_T + Aa + Ab + Ac = Ar,

y de aquí despejas:

A_T = Ar - Aa - Ab - Ac,

aquí reemplazas los valores de las áreas de las figuras que tienes calculados, resuelves, y queda:

A_T = (24 -3 - 6 - 4) u2 = 11 u².

Espero haberte ayudado. 

Otra manera de resolverlo también adjunto, aplicando cálculo integral. Como ves, existen disímiles maneras de resolver esto pero no debes atafagarte con todas ellas, solo toma la que más se adapte a tus conocimientos actuales, a tu grado de escolaridad, y a cómo te lo imparten en el colegio. Saludos.

«La esencia de las matemáticas no consiste en complicar lo que es simple, sino en simplificar lo que es complicado» S. Gudder.

Stan Gudder

Distinguished University Professor of Mathematics
Department of Mathematics
University of Denver
Denver, CO 80208-0189
Aspen Hall North, Suite 302
Phone: 303.871.3599
Email: sgudder@du.edu    

Agrego figura, correspondiente al desarrollo que he subido.