Asintotas oblicuas

Vamos con una orientación.

Tienes la expresión de la función:

f(x) = √[(x-2)*(x+1)],

y observa que el argumento de la raíz cuadrada debe tomar valores mayores o iguales a cero, por lo que tienes dos opciones:

- los dos factores que tienes en el argumento son negativos, lo que corresponde al subintervalo: I₁ = (-∞;-1],

- los dos factores que tienes en el argumento son positivos, lo que corresponde al subintervalo: I₂ = [2;+∞),

por lo que tienes que la expresión del dominio de esta función queda:

D = I₁ ∪ I₂ = (-∞;-1] ∪ [2;+∞),

y aquí observa que debes investigar si la gráfica de la función presenta asíntota obicua izquierda y también derecha.

Luego, distribuyes y reduces términos semejantes en el argumento de la raíz cuadrada, y la expresión dela función queda:

f(x) = √(x² - x - 2) (1), aquí extraes factor común (x2) en al argumento de esta raíz cuadrada, y queda:

f(x) = √[x²*(1 - 1/x - 2/x²)], ahora distribuyes la raíz, resuelves la expresión en su primer factor (presta atención aquí), y queda:

f(x) = |x|*√(1 - 1/x - 2/x²) (2), que es una expresión equivalente para esta función, en el dominio que ya tienes establecido.

Luego, pasas a investigar la existencia de Asíntota Oblicua Izquierda, observa que debes considerar el subintervalo: I₁ = (-∞;-1], y con él planteas (observa que empleamos las expresiones de la función señaladas (1) (2), según sea conveniente):

1°)

m = Lím(x→-∞) f(x)/x = Lím(x→-∞) |x|*√(1 - 1/x - 2/x²)/x, aplicas la definición de valor absoluto en el primer factor en el numerador, y queda:

m = Lím(x→-∞) -x*√(1 - 1/x - 2/x²)/x = Lím(x→-∞) -1*√(1 - 1/x - 2/x²) = -1, que sería el valor de la pendiente de la Asíntota en estudio,

2°)

b = Lím(x→-∞) [f(x) - m*x] = Lím(x→-∞) [√(x² - x - 2) + 1*x] = (*) = 1/2, que es el valor de la ordenada al origen,

y puedes concluir que la ecuación cartesiana explícita de la Asíntota Oblicua Izquierda de la gráfica de la función queda:

y = -1*x + 1/2.

(*) Queda para ti multiplicar y dividir por la expresión "conjugada" y resolver.

Luego, pasas a investigar la existencia de Asíntota Oblicua Derecha, observa que debes considerar el subintervalo: I₂ = [2;+∞), y con él planteas (observa que empleamos las expresiones de la función señaladas (1) (2), según sea conveniente): 

1°)

m = Lím(x→+∞) f(x)/x = Lím(x→+∞) |x|*√(1 - 1/x - 2/x²)/x, aplicas la definición de valor absoluto en el primer factor en el numerador, y queda: 

m = Lím(x→+∞) x*√(1 - 1/x - 2/x²)/x = Lím(x→+∞) +1*√(1 - 1/x - 2/x²) = +1, que sería el valor de la pendiente de la Asíntota en estudio, 

2°)

b = Lím(x→+∞) [f(x) - m*x] = Lím(x→+∞) [√(x² - x - 2) - 1*x] = (**) = -1/2, que es el valor de la ordenada al origen, 

y puedes concluir que la ecuación cartesiana explícita de la Asíntota Oblicua Izquierda de la gráfica de la función queda: 

y = +1x - 1/2.

(**) Queda para ti multiplicar y dividir por la expresión "conjugada" y resolver. 

Te adjuntamos una gráfica de la función y de sus asíntotas.

Espero haberte ayudado.