Ayudenme a resolver esto:

Tiene pinta de uno de esos de Olimpiada o similar

Colaboramos.

Tienes la ecuación que consigna el colega Cesár en su antepenúltima línea:

b/2^a + a/2^b = 7*√(2)/8,

a continuación aplicas propiedades de las raíces y de las potencias, y observa que la expresión numérica en el segundo miembro puede formularse:

7*√(2)/8 = 7*2^1/2/2³ = 7*2^1/2-3 = 7*2^-5/2 = 7/2^5/2,

aquí sustituyes esta última expresión remarcada, en el segundo miembro en la ecuación en estudio, y queda:

b/2^a + a/2^b = 7/2^5/2 (1). 

Luego, observa que tienes definidos las sustituciones (o cambio de incógnitas):

x = 2^a,

y = 2^b,

que son ambas potencias con base 2, y como tienes en tu enunciado que la incógnita "x" toma un valor mayor que la incógnita "y", entonces también tienes que el exponente "a" es mayor que el exponente "b",

a continuación observa que en denominador en el segundo miembro en la ecuación señalada (1) tienes una potencia con base 2 y exponente fraccionario con denominador igual a 2, por lo que es razonable investigar valores para las incógnitas "a" e "b", cuyos valores sean fraccionarios con denomindor igual a 2,

ahora, veamos el menor valor posible para la incógnita "b":

b = 1/2,

aquí reemplazas este valor en el primer miembro en la ecuación señalada (1), y queda:

(1/2)/2^a + a/2^1/2 = 7/2^5/2,

a continuación resuelves la division de expresiones en el primer término, y queda:

1/2^a+1 + a/2^1/2 = 7/2^5/2 (2),

ahora considera el menor valor posible para la incógnita "a", en las condiciones que tienes establecidas (recuerda: "a" es mayor que "b", y las expresiones de ambas incógnitas son potencias con base 2, con exponentes fraccionarios cuyos denominadores son iguales a 2):

a = 3/2,

aquí, a fin de verificar que los valores remarcados son correctos, remplazas este valor en el primer miembro en la ecuacion señalada (2), y queda:

1/2^3/2+1 + (3/2)/2^1/2 = 7/2^5/2,

a continuación resuelves expresiones en los dos primeros términos, y queda:

1/2^5/2 + 3/2^3/2 = 7/2^5/2,

aquí multiplics por 25/2 en todos los términos, simplificas en todos los términos, y queda:

1 + 3*2 = 7,

ahora resuelves en el primer miembro, y queda:

7 = 7,

que es una Igualdad Verdadera, por lo que tienes asegurados los valores:

a = 3/2, al que corresponde el valor: x = 2^3/2,

b = 1/2, al que corresponde el valor: y = 2^1/2.

Por último, reemplazas los valores obtenidos en la expresión de la incógnita "k" que tienes en tu enunciado, y queda:

k = (2^3/2 + 2*2^1/2)/(2^3/2 - 2^1/2),

aquí extraes factor común 21/2 en el numerador y en el denominador, y queda:

k = 2^1/2*(2 + 2)/(2^1/2*(2 - 1)),

ahora simplificas factores comunes, resuelves, y queda:

k = 4.

Gracias al colega Cesár, que con su desarrollo hizo posible todo.

Espero haberte ayudado.