Juan
Calcular ecuación de segundo grado de la forma x² + bx + c = 0.
Cuyas soluciones sean los números complejos de la imagen adjunta.
Tienes las expresiones de las raíces, expresadas en forma polar (o módulo-argumento), por lo que planteas sus expresiones en forma cartesiana binómica, y queda:
x1 = √(5)*[ cos(120°) + i*sen(120°) ],
x2 = √(5)*[ cos(240°) + i*sen(240°) ],
a continuación reemplazas los valores exactos de las expresiones trigonométricas, y queda:
x1 = √(5)*[ -1/2 + i*√(3)/2 ] (1),
x2 = √(5)*[ -1/2 - i*√(3)/2 ] (2).
Luego, planteas las ecuaciones correspondientes a las relaciones entre coeficientes y raíces de la ecuación polinómica cuadrática mónica, y queda:
b = -( x1 + x2),
c = x1*x2,
a continuación reemplazas las expresiones de las raíces señaladas (1) (2), resuelves (te dejamos a ti los desarrollos correspondientes, y quedq:
b = -( √(5)*[ -1 ] ) = √(5),
c = 5*( 1/4 - 3/4 ) = 5*( -1/2 ) = -5/2,
por último reemplazas los valores remarcados en la ecuación polinómica cuadrática mónica que tienes en tu enunciado, y queda:
x2 + x - 5/2 = 0.
Espero haberte ayudado.