Circunferencia

Vamos con un desarrollo por etapas.

1°)

Planteas el sistema conformado por las ecuaciones de las dos primeras rectas, lo resuelves (te dejamos la tarea a ti), y tienes que su solución única es: x = 9, y = -5, por lo que el punto de intersección entre estas dos rectas es: M(9;-5).

2°)

Planteas el sistema conformado por las ecuaciones de la primera y la tercera recta, lo resuelves (te dejamos la tarea a ti), y tienes que su solución única es: x = 8, y = -2, por lo que el punto de intersección entre estas dos rectas es: N(8;-2). 

3°)

Planteas el sistema conformado por las ecuaciones de las dos primeras rectas, lo resuelves (te dejamos la tarea a ti), y tienes que su solución única es: x = 7, y = -1, por lo que el punto de intersección entre estas dos rectas es: P(7;-1). 

4°)

Planteas la ecuación genera implícita para una circunferencia, y queda:

x² + y² + d*x + e*y + f = 0 (1),

a continuación reemplazas las coordenadas de cada uno de los puntos señalados M, N, P, resuelves términos y coeficientes, y queda el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

81 + 25 + 9*d - 5*e + f = 0, y de aquí despejas: f = -9*d + 5*e - 106 (2),

64 + 4 + 8*d - 2*e + f = 0, aqui reduces términos semejantes, y queda: 68 + 8*d - 2*e + f = 0 (3),

49 + 1 + 7*d - 1*e + f = 0, aquí reduces términos semejantes, y queda: 50 + 7*d - e + f = 0 (4);

luego, sustituyes la expresión señalada (2) en las ecuaciones señaladas (3) (4), reduces términos semejantes, y queda:

-38 - d + 3*e = 0, y de aquí despejas: d = -38 + 3*e (5)

-56 - 2*d + 4*e = 0, aquí divides por -2 en todos los términos, y queda: 28 + d - 2*e = 0 (6),

a continuación sustituyes la expresión señalada (5) en la ecuación señalada (6), reduces términos semejantes, y queda:

-10 + e = 0, y de aquí despejas: e = 10,

a continuación reemplazas este último valor remarcado en la ecuación señalada (5), la resuelves, y queda: d = -8,

a continuación reemplazas estos dos últimos valores remarcados en la ecuación señalada (2), la resuelves, y queda: f = 16.

5°)

Reemplazas los tres valores remarcados en la ecuación señalada (1), y queda:

x² + y² - 8*x + 10*y + 16 = 0,

que es una ecuación cartesiana implícita de la circunferencia en estudio,

a continuación ordenas y asocias términos según cada una de las incógnitas, y queda:

[x² - 8*x] + [y² + 10*y] + 16 = 0,

aquí sumas y restas 16 en el primer agrupamiento, sumas y restas 25 en el segundo agrupamiento, y queda:

[x² - 8*x + 16 - 16] + [y² + 10*y + 25 - 25] + 16 = 0,

a continuación factorizas los trinomios cuadrados perfectos, y queda:

[(x - 4)² - 16] + [(y + 5)² - 25] + 16 = 0,

ahora distribuyes los agrupamientos, reduces los términos numéricos, y queda:

(x - 4)² + (y + 5)² - 25 = 0,

a continuación sumas 25 en ambos miembros, y queda:

(x - 4)² + (y + 5)² = 25,

que es la ecuación cartesiana canónica (o estándar) de la circunferencia en estudio, por lo que puedes concluir que la tercera opción es la correcta.

Espero haberte ayudado.

 El centro de una circunferencia circunscripta a cualquier triángulo se encuentra en la intercepción de las tres mediatrices de los lados del triángulo. Este punto se denomina incentro. 

· Tienes los vértices del triángulo desarrollando tres sistemitas de ecuaciones, por lo que puedes calcular entonces el punto medio de los tres lados con la relación Pm=((x1+x2)/2;(y1+y2)/2)

 · Tienes las pendientes de los tres lados del triángulo (m=-A/B) porque tienes las ecuaciones de los lados en la forma Ax+By+C=0. Con estas pendientes, aplica la condición de perpendicularidad m1=(-1/m2) y saca las pendientes de las mediatrices, y con las coordenadas de los puntos
medios calcula las ecuaciones de las tres mediatrices en la forma y-yo=m(x-xo), donde (xo;yo) son las coordenadas de los puntos medios. 

 · Luego calcula el centro de la circunferencia calculando el intercepto de dos mediatrices cualesquiera. 

· El radio lo calculas determinando la distancia del centro de la circunferencia ya calculado a uno de los vértices del triángulo.

d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)

 

grafica del ejercicio  

Hice un planteamiento anterior de forma literal como otra alternativa de solución al problema. Me decido a calcular y adjunto el resultado.

También adjunto comprobación con Geogebra adicionando otros cálculos como las coordenadas de los puntos medios, ecuaciones de todas las rectas, valores de ángulos, comprobación de Ley de los senos, entre otras. Saludos cordiales.

gráfico y final...