Yaser
Pregunté antes, y me contestaron. Lo que quería saber es como integrar a partir de 3xy en vez de 3x. Gracias.
Tienes tu integral doble, que puedes resolver en dos formas distintas:
1°)
Integras primero con respecto a la variable "x", y después con respecto a la variable "y", tal como tienes en tu enunciado:
0∫1 0∫4 3*x*y*dx*dy =
aquí ordenas factores en el argumento (observa que encerramos entre paréntesis a la primera integral a fin de destacar su resolución), y queda:
= 0∫1 ( 0∫4 3*y*x*dx )*dy =
ahora integras con respecto a la variable "x" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= 0∫1 ( [ 3*y*x²/2 ] )*dy =
aquí evalúas entre x = 0 y x = 4, y queda:
= 0∫1 ( 3*y*4²/2 - 3*y*0²/2 )*dy =
a continuación resuelves coeficientes en ambos términos, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= 0∫1 24*y*dy =
ahora integras con respecto a la variable "y" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ 24*y²/2 ] =
aquí resuelves el coeficiente, y queda:
= [ 12*y² ] =
a continuación evalúas entre y = 0 y y = 1, y queda:
= 12*1² - 12*0² =
a continuación resuelves en ambos términos, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= 12.
2°)
Integras primero con respecto a la variable "y", y después con respecto a la variable "y", y como tienes que los cuatro límites de integración son numéricos, parmutas integrales, permutas diferenciales (observa que encerramos entre paréntesis a la primera integral a fin de destacar su resolución), y queda:
0∫4 ( 0∫1 3*x*y*dy )*dx =
ahora integras con respecto a la variable "y" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= 0∫4 ( [ 3*x*y²/2 ] )*dx =
aquí evalúas entre y = 0 e y = 1, y queda:
= 0∫4 ( 3*x*1²/2 - 3*x*0²/2 )*dx =
a continuación resuelves coeficientes en ambos términos, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= 0∫4 (3/2)*x*dx =
ahora integras con respecto a la variable "x" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= [ (3/2)*x²/2 ] =
aquí resuelves el coeficiente, y queda:
= [ (3/4)*x² ] =
a continuación evalúas entre y = 0 y y = 1, y queda:
= (3/4)*4² - (3/4)*0² =
a continuación resuelves en ambos términos, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= 12.
Y aquí observa que los dos resultados coinciden, como establece Teorema de Fubini, que asegura que el resultado de una integral doble no depende del orden de integración de sus variables.
Espero haberte ayudado.