CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Si la función está definida en un entorno de cierto punto, donde existe el límite de la función cuando la variable independiente tiende a este punto en cuestión, y si este limite es igual al valor de la función en dicho punto, la función entonces es contínua. Por tanto, adjunto el desarrollo y gráfico. La función en trazo rojo es la buscada.

Para la otra función, no sé lo que se desea..... 😣

2)

Observa que puedes presentar a la expresión de la función en cuatro trozos:

f(x) =

π²/(4e*x²) ................ si: x ≤ -π/2,

e^-1/senx ....................... si: -π/2 < x < 0,

e^-1/senx ....................... si: 0 < x < 0 π/2, 

π²/(4e*x²) ................. si: x ≥ π/2, 

y aquí observa que el dominio de esta función es el conjunto: D = (-∞;0) ∪ (0;+∞) = R - {0}, y que esta función es continua en los subintervalos: (-∞;-π/2), (-π/2;0), (0;π/2) y (π/2;+∞).   

Luego, observa que tienes tres valores notables para estudiar, a partir de la definición de continuidad de una función:

a)

x = -π/2,

y para él tienes:

1°)

f(-π/2) = π²/(4e*[-π/2]²) = π²/(4e*π²/4) = 1/e,

2°)

Lím(x→-π/2^-) f(x) = Lím(x→-π/2^-) π²/(4e*x²) = 1/e,

Lím(x→-π/2⁺) f(x) = Lím(x→-π/2⁺) e^-1/senx = e^-1/(-1) = e,

y como estos límites laterales no coinciden, entonces tienes que el límite de la función para este valor en estudio no existe,

3°)

puedes concluir que la gráfica de la funicón presenta discontinuidad esencial (o inevitable) en: x = -π/2, y que es de tipo "salto finito";

b)

x = 0,

y para él tienes:

1°)

f(0) no está definida,

2°)

Lím(x→0^-) f(x) = Lím(x→0^-) e^-1/senx = +∞ (observa que la expresión que tienes en el exponente tiende a +infinito), 

Lím(x→0+) f(x) = Lím(x→0+) e^-1/senx = 0 (observa que la expresión que tienes en el exponente tiende a -infinito), 

y tienes que el límite de la función no existe para este valor en estudio,

3°)

puedes concluir que la gráfica presenta discontinuidad esencial (o inevitable) en: x = 0, y que es tipo "asíntota vertical";

c)

x = π/2,

y para él tienes:

1°)

f(π/2) = π²/(4e*[π/2]²) = π²/(4e*π²/4) = 1/e,

2°)

Lím(x→π/2-) f(x) = Lím(x→-π/2+) e^-1/senx = e^-1/1 = 1/e, 

Lím(x→π/2+) f(x) = Lím(x→π/2+) π²/(4e*x²) = 1/e,

y como estos límites laterales sí coinciden, entonces tienes que el límite de la función para este valor en estudio sí existe y queda expresado:

Lím(x→π/2+) f(x) = 1/e,

3°)

como tienes que el valor que toma la función y el límite son iguales, entonces puedes concluir que la gráfica de la función es continua para este valor en estudio.

Espero haberte ayudado.

No me percaté de que esa fuera la pregunta para este inciso. Bueno, de todas formas lo contesto. Saludos... 😉

Gràfico independiente....