¿Cuál es la relación entre una función y su primera y segunda derivada?

Cuando tenemos una función y nos piden saber dónde la función es creciente, dónde es decreciente, si es cóncava hacia arriba o hacia abajo, si hay un punto de inflexión, si hay un máximo y si hay un mínimo, lo que debemos hacer siempre es partir de la primera derivada. Ahora, para analizar crecimiento o decrecimiento, debemos antes, debemos saber primero dónde se hace cero, y así también sabríamos dónde tiene su valor crítico la derivada. Una vez sepamos el punto donde se anula la función, procedemos a analizar los signos en la recta real, antes y después de dicho número, para saber cuando es mayor a cero o menor que cero (se recomienda para ello utilizar el método de las cruces el cual está explicado en). Cuando es negativa, sabemos que es decreciente, y cuando es positiva es creciente, lo que quiere decir que el punto en el que varía es un mínimo. Luego, si la segunda derivada nos da positiva, quiere decir que la función solo tiene un tipo de concavidad para cualquier valor de x, y como habíamos dicho antes como es positiva la segunda derivada, la función es cóncava hacia arriba. Incluso, si evaluamos en la segunda derivada, vemos que como es una constante positiva, podemos decir que es un mínimo absoluto.