Adriana Maria
Por favor, podrían ayudarme con el siguiente problema. Muchas gracias.
Te ayudamos con la ecuación, por medio de un desarrollo por etapas.
Tienes la circunferencia con centro C(a;0) y radio R = a, cuya ecuación cartesiana canónica es: (x - a)2 + y2 = a2 (1).
Tienes la recta paralela al eje OY, cuya ecuación cartesiana es: x = 2a (2).
Puedes plantear la ecuación cartesiana explícita de la recta inclinada OPAB: y = m*x (3),
que pasa por el punto genérico P(x;y) que pertenece a la curva que tienes en estudio.
1°)
Plantas la intersección de las dos rectas cuyas ecuaciones tienes señaladas (3) (2), y queda el sistema:
y = m*x,
x = 2*a,
cuya solución única son las coordenadas del punto: B(2a;2am).
2°)
Planteas la intersección de la circunferencia y de la recta inclinada, cuyas ecuaciones tienes señaladas (2) (3), y queda el sistema:
(x - a)2 + y2 = a2 (2),
y = m*x (3),
ahora sustituyes la expresión señalada (3) en el segundo término en la ecuación señalada (2), resuelves su expresión, restas a2 en ambos miembros, y queda:
(x - a)2 + m2*x2 - a2 = 0,
aquí desarrollas el binomio elevado al cuadrado, cancelas términos opuestos, extraes factor común con los términos cuadráticos, y queda la ecuación:
(1 + m2)*x2 - 2a*x = 0,
que es una ecuación cuadrática, cuyas soluciones son:
a)
x = 0, que al reemplazar y resolver en las ecuaciones señaladas (2) (3), queda: y = 0,
por lo que tienes el punto: O(0;0),
b)
x = 2a/[1 + m2], que al reemplazar y resolver en las ecuaciones señaladas (2) (3), queda: y = 2am/[1 + m2],
por lo que tienes el punto: A(2a/[1 + m2];2am/[1 + m2]).
4°)
Tienes planteado al unto P(x;y) que pertenece a la curva que tienes en estudio y, como también pertenece a la recta inclinada, entonces reemplazas la expresión señalada (3) en su segunda coordenada, y queda: P(x;m*x).
5°)
Planteas la ecuación correspondiente a la condición que verifican los puntos P que petenecen a la curva en estudio, y queda la ecuación:
d(O;P) = d(A;B),
y queda para ti sustituir las expresiones de las distancias correspondientes a los puntos indicados, sustituir la expresión de la pendiente de la recta inclinada, que a partir de la ecuación señalada (3), queda: m = y/x, y reducir la ecuación a la mínima expresión.
Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.
Espero haberte ayudado.
Adriana, adjunto el desarrollo. Se determina la ecuación de la curva cisoide, gráfica con asistente para comprobación y cálculo de área comprendida entre la curva y la circunferencia. Espero te sea útil.
Continuación...
Precisamente es esa la ecuación de la curva pero no creí que se pudiera deducir de esa figura. ¿Lo logró a partir de comparación de ángulos?
Y el área es correcta, entonces ese punto de intercepto es el mismo para toda circunferencia?, puede decirme. Gracias.
Correcto, es como dices. Los problemas más recurrentes que noto en los temas de geometría plana es el poco dominio de los teoremas fundamentales. La geometría euclidiana se basa en la demostración real a partir de teoremas dependiendo de las figuras geométricas que se traten. O sea, depende si se trata de cuadriláteros, o de semejanza, proporcionalidad o congruencia de triángulos, o cuando tratamos de ángulos en la circunferencia, teorema de transversales, etc. Lo que quiero expresarte es que debe tenerse un dominio general de los conceptos geométricos fundamentales para poder atacar estos problemas.
Aquí se utilizaron conceptos sobre ángulos inscritos, semi inscritos, entre otros para poder llegar a la ecuación de la curva partiendo de relaciones trigonométricas como está reflejado en el desarrollo.
El área puede desarrollarse a partir de integrales dobles pero vi más factible el desarrollo con integral de linea a partir del teorema de Green en el plano por la condición de ecuación paramétrica de la cisoide.