Axlinn
Buenas,
en un ejercicio me piden encontrar un espacio vectorial que cumpla las cuatro propiedades de los espacios vectoriales (que un escalar por la suma de dos vectores sea el escalar por el primer vector más el escalar por el segundo vector, lo mismo pero teniendo un vector por la suma de dos escalares, que el vector por el eñemento neutro del escalar sea igual al vector, y la propiedad asociativa cuando tienes un escalar multipilicado por dos vectores). Es decir, se tienen que cumplir esas cuatro propiedades, pero no puede ser un espacio vectorial. Había pensado en los números racionales junto con las aplicaciones de la suma y el producto, pero me han surgido algunas dudas: ¿Puedo tener a los números racionales como V (vector) y a los reales como esacalares, verdad? Así creo que se cumplirían las propiedades pero no existe la operación interna (porque si el escalar es un número irracional, irracional por racional no te da racional...
Además de eso, a la hora de demsotrar que se cumplen las propiedades (sin ejemplos concretos, sino de forma genérica), como demuestro que el vector v perteneciente a los números racionales (lo he expresado como a/b) por 1k (el neutro de los escalares) es el propio vector? Es que no encuentro ningún desarrollo posible. Tal vez sea porque no puedo decir que V sean los números racionales?
Muchas gracias.
Vamos con una orientación.
Puedes considerar al conjunto V, cómo el conjunto de los números complejos, y a los números reales como escalares.
O también puedes considerar, por ejemplo, cómo conjunto V a los polinomios con coeficientes reales y cuyo grado sea menor o igual que 2, y a los números reales como escalares.
Haz el intento, y si llega a ser necesario no dudes en volver a consultar.
Espero haberte ayudado.
En cambio, si consideras al conjunto V cómo los números racionales, y a los escalares como los números reales, observa que en este caso no tratas con un espacio vectorial, tal como tú indicas.
Vamos con este caso, a ver si aclaramos tus dudas:
V = { x: x ∈ R } (conjunto de vectores, que son los números reales, que conforman un grupo conmutativo con la suma),
K = { x: x ∈ Q } (conjunto de escalares, que son los números racionales, que conforman un cuerpo conmutativo con la suma y el producto).
Luego, consideramos los vectores: x e y, que pertenecen al conjunto V, y los escalares 1, a y b, que pertenecen al conjunto K, y ahí vamos:
1°)
a*(x + y) = a*x + a*y,
por propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, en el conjunto de los números reales (recuerda que los números racionales están incluidos en los reales, por lo que "a*x" y "a*y" son números reales).
2°)
(a + b)*x = a*x + b*x,
por propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, en el conjunto de los números reales (recuerda que los números racionales están incluidos en los reales, por lo que "a*x" y "b*x" son números reales).
3°)
1*x = x,
por propiedad de existencia del elemento neutro de la multiplicación de números reales (recuerda que los números racionales están incluidos en los reales, por lo que "1*x" es un número real).
4°)
(a*b)*x = a*(b*x),
por propiedad asociativa del producto en el conjunto de los números reales (recuerda que los números racionales están incluidos en los reales, por lo que "a*b" y "b*x" son números reales).
Espero haberte ayudado.
De acuerdo, muchas gracias por la respuesta.
Pero precisamente lo que me piden es que encuentre un NO espacio vectorial que sin embargo cumpla las cuatro propiedades citadas anteriormente. Es decir, lo que tiene que fallar es la aplicación, supongo que habrá que conseguir que la operación no sea interna. Por eso mismo planteaba V como los números racionales (Q) y los números reales como los escalares (K), entiendo que se cumplen las propiedades pero que no llegan a conformar un espacio vectorial (precisamente porque en el producto, escalar por vector te puede dar un número irraciona, es decir K * V -> V no se cumple.
La cuestión es que si al final tomo Q como V (conjunto de vectores), no sé muy bien cómo demostrar matematicamente que SÍ se cumplen las 4 propiedades de espacio vectorial pero que la aplicación falla. Porque con R2 es fácil demostrar las propiedades, pero por ejemplo 1*v=v siendo v racional, no veo qué desarrollar para demostrar que se cumple.
A ver si ahora sí te ayudamos con este desarrollo.
Puedes considerar al conjunto de vectores V como el conjunto de los números enteros, y al cuerpo de escalares K como el conjunto de los números naturales, y tienes (designamos con x e y a los vectores que son números enteros, y con a, b y 1 a los escalares que son números naturales):
1°)
a*(x + y) = a*x + a*y,
por propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, en el conjunto de los números enteros (recuerda que los números naturales están incluidos en los enteros, por lo que "a*x" y "a*y" son números enteros).
2°)
(a + b)*x = a*x + b*x,
por propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, en el conjunto de los números enteros (recuerda que los números naturales están incluidos en los enteros, por lo que "a*x" y "b*x" son números enteros).
3°)
1*x = x,
por propiedad de existencia del elemento neutro de la multiplicación de números enteros (recuerda que los números naturales están incluidos en los enteros, por lo que "1*x" es un número entero).
4°)
(a*b)*x = a*(b*x),
por propiedad asociativa del producto en el conjunto de los números enteros (recuerda que los números racionales están incluidos en los enteros, por lo que "a*b" y "b*x" son números enteros).
Y observa que los números enteros con la suma sí conforman un grupo conmutativo (que es una condición que debe verificar el conjunto V para poder conformar un espacio vectorial), y observa que el cojunto de los números naturales con la suma y el producto usuales no conforman un cuerpo conmutativo, que también es una condición que debe verificar el conjunto K para poder conformar un espacio vectorial, ya que no admite opuesto (o inverso aditivo) en la suma, y tampoco admite inverso (o inverso multiplicativo) en el producto.
Espero haberte ayudado.