Demostración de la afirmación

Vamos con una orientación, pero medio de una aplicación del Principio de Inducción Completa.

Tienes la proposición:

P(n): 

∏(k=1;n) (1 + x_k) ≥ 1 + ∑(k = 1;n) x_k, con: n ∈ N, n ≥ 1, -1 < x_k ≤ 0.

1°)

Planteas la proposición para el primer número natural: n = 1, y queda:

P(1):

∏(k=1;1) (1 + x_k) ≥ 1 + ∑(k = 1;1) x_k,  

ahora desarrollas la productoria (observa que tienes un solo factor), desarrollas la sumatoria (observa que tienes un solo término), y queda la desigualdad amplia:

1 + x₁ ≥ 1 + x₁,

que se verifica para todo valor xk perteneciente al intervalo (-1;0], por lo que ya tienes probado que la proposición es Verdadera para el primer número natural.

2°)

Planteas la Hipótesis Inductiva, la que asumes como Verdadera, y queda:

P(h):

∏(k=1;h) (1 + x_k) ≥ 1 + ∑(k = 1;h) x_k, con: h ∈ N, h ≥ 1, -1 < x_k ≤ 0.

3°)

Planteas la Tesis Inductiva, y queda:

P(h+1):

∏(k=1;h+1) (1 + x_k) ≥ 1 + ∑(k = 1;h+1) x_k, con: h ∈ N, h ≥ 1, -1 < x_k ≤ 0. 

4°)

Demostración.

Planteas la expresión que tienes en el primer miembro en la desigualdad en la Tesis Inductiva, extraes el último factor de la productoria, y queda:

∏(k=1;h+1) (1 + x_k) = ∏(k=1;h) (1 + x_k) * (1 + x_h+1),    

ahora aplicas la Hipóteis Inductiva en el primer factor en el segundo miembro, y queda la desigualdad amplia:

∏(k=1;h+1) (1 + x_k) ≥ [ 1 + ∑(k = 1;h) x_k ] * (1 + x_h+1), 

a continuación distribuyes en el segundo término en el segundo miembro, y queda:

∏(k=1;h+1) (1 + x_k) ≥ 1 + ∑(k = 1;h) x_k + x_h+1 + x_h+1 * ∑(k = 1;h) x_k, 

aquí presta atención a la expresión que tienes en el último término, que consiste en una multiplicación de un factor negativo (xk+1) por una suma de términos negativos, por lo que tienes que este último término es positivo, por lo tanto también tienes que la desigualdad amplia es válida con los tres primeros términos que tienes en su segundo miembro, y queda:

∏(k=1;h+1) (1 + x_k) ≥ 1 + ∑(k = 1;h) x_k + x_h+1,  

a continuación introduces el último término que tienes en el segundo miembro en la sumatoria, y queda:

∏(k=1;h+1) (1 + x_k) ≥ 1 + ∑(k = 1;h+1) x_k,  

y ya tienes demostrado que la Tesis Inductiva es Verdadera.

5°)

Conclusión.

De acuerdo con el Quinto Axioma de Peano, o Principio de Inducción Completa, tienes:

P(1) ................................... es Verdadera,

P(h) → P(h+1) .................. es Verdadera,

por lo que puedes concluir que la proposición P(n) que tienes en estudio es Verdadera, para todo número natural mayor o igual que uno.

Espero haberte ayudado.