Darío Gómez
Podeis echarme una mano con este ejercicio porfavor
Tienes la proposición de tu enunciado, y la demostraremos por medio del Quinto Axioma de Peano, o Principio de Inducción Completa.
1°)
Para n = 1 tienes que la proposición es Verdadera (te dejo a ti la formalización de este paso).
2°)
Aceptas como Verdadera la expresión de tu enunciado (Hipótesis Inductiva).
3°)
Planteas la Tesis Inductiva:
(cosθ + i*senθ)n+1 = cos([n+1]*θ) + i*sen([n+1]*θ),
que tienes que demostrar que es Verdadera.
4°)
Demostración:
(cosθ + i*senθ)n+1 =
aplicas la propiedad de la multiplicación de potencias con bases iguales, y queda:
= (cosθ + i*senθ)n * (cosθ + i*senθ) =
aplicas la Hipótesis Inductiva, y queda:
= (cos[n*θ] + i*sen[n*θ]) * (cosθ + i*senθ) =
distribuyes, resuelves coeficientes, ordenas y agrupas términos, extraes factor común entre los términos imaginarios, y queda:
= (cos(n*θ)*cosθ - sen(n*θ)*senθ) + i*(sem[n*θ]*cosθ + cos[n*θ]*senθ) =
aplcias la identidad trigonométrica del coseno de la suma de dos ángulos en el primer término, aplicas la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos ángulos en el agrupamiento del segundo término, y queda:
= cos(n*θ+θ) + i*sen(n*θ+θ) =
extraes factor común en lso argumentos de las expresiones trigonométricas, y queda:
= cos([n+1]*θ) + I*sen{n+1]*θ).
Luego, tienes demostrado que la Fórmula de De Moivre para las potencias con exponentes naturales de un número complejo es Verdadera.
Espero haberte ayudado.