derivada direccional

Va la resolución 

Correcto. La derivada direccional D_uf_(x;y) representa la razón de cambio de z en la dirección del vector unitario u. Es la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie z_(x;y) y el plano vertical que pasa por el punto P en la dirección de u. Por lo tanto, el valor máximo de la derivada direccional es el módulo del vector gradiente |∇f| y ocurre cuando u tiene la misma dirección que el vector gradiente ∇f .

Mostraremos un ejemplo para este caso y un punto arbitrario que escogeremos como P(1;1) apoyandonos en una aplicación que hice en Geogebra para la derivada direccional. Mostraremos la curva de intersección de la superficie f_(x;y)=z y el plano vertical que pasa por el punto escogido P(1,1), el vector unitario y el vector gradiente sobre el punto P, mostrando como el vector gradiente indica la dirección del mayor crecimiento de la función en el punto en cuestión a partir de una curva de nivel tomada precisamente en un corte de nivel realizado a la altura de este punto P.

Entonces, como bien calculó el profe Cesar, tenemos que: ∇f_(xý)=(-6xy²+3x²)i+(-6x²y+3y²)j

∇f_(1;1)=-3i-3j

D_uf_(1;1)=-3.795

El valor máximo de la derivada direccional es: |∇f_(1;1)|=4.243. Este valor lo tomaría la derivada direccional si el vector u tuviese la misma dirección que el vector gradiente en P.

En el esquema de la curva de nivel a la altura del punto P(1;1) puede notarse como el vector gradiente indica la dirección del mayor incremento de la función.

Saludos.

Recordar que las curvas de nivel son cortes horizontales que se le practican a la función a diferentes niveles. El mostrado corresponde a la curva de nivel a la altura en que la proyección del punto P sobre la vertical coincide con la función en ese instante. Con el diagrama de la curva de nivel puede verse mejor como el vector gradiente indica la dirección del mayor incremento de la función en ese punto.

Muchass graciasss a todos