Derivadas direccionales

Va el primero 

Muchas gracias! y cuando es con esponencial e ¿Cómo lo analizo?

i)

Observa que la función es continua en el conjunto: R² - {(0;0)}, por lo que resta estudiar su continuidad en (0;0), por medio de la definición de continuidad de una función en un punto:

1°)

f(0;0) = a, con el valor real "a" a determinar;

2°)

Lím[(x;y)→(0;0)] f(x;y) = Lím[(x;y)→(0;0)] x*y/√(x² + y²) = 0 = L, 

y para demostrar la existencia de este límite, puedes apela al Teorema de Acotación:

0 ≤ |f(x;y) - L| = |x*y/√(x² + y²) - 0| = |x|*|y/√(x² + y²)| ≤ |x|*1 = |x| = g(x;y),

y aquí observa que planteas el límite para (x;y) tendiendo a (0;0), y queda:

Lím[(x;y)→(0;0)] g(x;y) = Lím[(x;y)→(0;0)] |x| = 0,

por lo que tienes que la función tiene límite para (x;y) tendiendo a (0;0), y que su valor es: L = 0;

3°)

puedes concluir que la función es continua en (0;0) si y solo sí: f(0;0) = a = 0 = L,

y tienes también que si a = 0, entonces la expresión de la función queda:

f(x;y) =

x*y/√(x² + y²) ....................... si: (x;y) ≠ (0;0),

0 ............................................ si: (x;y) = (0;0),

y aquí observa que puedes concluir que esta función es continua en R².

Luego, observa que esta última expresión corresponde a una función que es diferenciable en: R² - {(0;0)}, ya que si planteas las expresiones de sus funciones derivadas parciales para: (x;y) ≠ (0;0) podrás apreciar que ambas existen y son continuas en todos los puntos de este conjunto, lo que es condición suficientej para afirmar que esta función es diferenciable en: R² - {(0;0)} y, por lo tanto, esta función admite derivadas en todas direcciones en estos puntos.

Luego, para el origen de coordenadas, planteas la expresión general de las funciones derivadas direccionales, y queda (observa que indicamos con: "θ" a las direcciones, en forma general):

D_θf(0;0) = Lím(t→0) [f(0 + t*cosθ;0 + t*senθ) - f(0;0)]/t = Lím(t→0) [f(t*cosθ;t*senθ) - 0]/t = Lím(t→0) f(t*cosθ;t*senθ)/t,

aquí sustituyes la expresión de la función evaluada en el numerador en el argumento de este límite, y queda (observa que resolvemos la expresión en el argumento de la raíz cuadrada en el denominador):

D_θf(0;0) = Lím(t→0) [t*cosθ*t*senθ/√(t²)],

a continuación resuelves la expresión en el numerador, y queda:

D_θf(0;0) = Lím(t→0) [t²*cosθ*senθ/√(t²)], 

aquí aplicas la propiedad del cuadrado del valor absoluto de una expresión (t² = |t|²) en el numerador, resuelves la expresión en el denominador (observa que tienes una raíz con índice par cuyo argumento es una potencia con exponente par), y queda:

D_θf(0;0) = Lím(t→0) [|t|²*cosθ*senθ/|t|], 

a continuación simplificas en el argumento de este límite, y queda:

D_θf(0;0) = Lím(t→0) |t|*cosθ*senθ, 

ahora resuelves este límite, y queda:

D_θf(0;0) = 0,

por lo que puedes concluir que si a = 0 tienes que la función admite derivadas en todas direcciones en (0;0), y que todas dichas derivadas toman el valor cero;

luego, puedes concluir que la función en estudio admite derivadas en todas direcciones en todo punto perteneciente a R².

Es así. Concluyendo, la esencia de esto radica en dos factores fundamentales.

Primeramente, una función f de dos variables se llama contínua en (a,b) si lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y)=f(a,b)

En segundo lugar, para funciones de dos variables, (x,y) puede aproximarse al punto (a,b) desde un número infinito de direcciones en cualquier trayectoria mientras (x,y) permanezca en el dominio de f. Por tanto, si el límite existe, f(x,y) debe aproximarse al mismo límite sin importar como se aproxime (x,y) a (a,b). De esta manera, si se puede determinar dos trayectorias de aproximación a lo largo de las cuales la función f(x,y) tiene límites diferentes, entonces se concluye que lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y) no existe.

De aquí se desprende, para el segundo caso que la función es contínua en (0,0) solo si y=0

Si aproximas (0,0) a lo largo del eje y, o sea x=0: lim_x→0f(x,y)=lim_x→0(ye^x)→y

Si lo aproximas a lo largo del eje x (y=o): lim_y→0f(x,y)=lim_y→0(0/x)→0

Si lo aproximas a lo largo de otra recta, por ejemplo y=x: f(x,y)=(e^{x^2}-1)/x

lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y)=lim_{(x,y)→(0,0)}((e^{x^2}-1)/x)=lim_{(x,y)→(0,0)}(2xe^{x^2})→0

j)

Vamos con una orientación.

Para la "rama superior" de la función, puedes mostrar que sus derivadas parciales son continuas para puntos que no pertenecen al eje OY, y que, por lo tanto, la función es diferenciable en todos dichos puntos, y por lo tanto tienes que es continua en todos ellos y también admite derivadas en todas direcciones en los mismos.

Ahora, para puntos que pertenecen al eje OY, cuya expresión general es: (0;b), con "b" perteneciente a los números reales, puedes aplicar la definición de continuidad de una función en un punto, y tienes:

1°)

f(0;b) = b, con "b" a determinar;

2°)

Lím[(x;y)→(0;b)] f(x;y) = Lím[(x;y)→(0;b)] (e^x*y - 1)/x,

aquí planteas la expresión del desarrollo de Taylor de la función cuya expresión es e^x*y alrededor del punto (0;b) (te dejamos el planteo a ti, y observa que consignamos los términos hasta el orden dos), y queda:

Lím[(x;y)→(0;b)] f(x;y) = Lím[(x;y)→(0;b)] [1 + b*x + 0*(y - b) + b²*x² + 2*x*(y - b) + 0*(y - b)² ... - 1]/x,

aquí cancelas términos nulos y términos opuestos en el numerador, y queda:

Lím[(x;y)→(0;b)] f(x;y) ≅ Lím[(x;y)→(0;b)] [b*x + b²*x² + 2*x*(y - b) ...]/x, 

a continuación extraes factor común en el numerador, simplificas en el argumento del límite, y queda:

Lím[(x;y)→(0;b)] f(x;y) ≅ Lím[(x;y)→(0;b)] [b + b²*x + 2*(y - b) ...],

ahora resuelves este límite, y queda:

Lím[(x;y)→(0;b)] f(x;y) ≅ b,

por lo que puedes inferir que el límte de la función para (x;y) tendiendo a (0;b) existe, y que su valor es: L = b;

3°)

puedes concluir que la función es continua en todos los puntos que pertenecen al eje OY y que, por lo tanto, también lo es en R².

Clarom buenisimo, y ¿cómo hago para poder graficarlas? 

Cómo puedo comenzar a calcular la derivada parcial del ejercicio "e" que es un log y los "g" y "h" que tienen máximos y minimos pero no espexifica cuales?