Desarrollar problemas paso a paso

2)

En la figura tienes representadas las tres rectas que contienen a los lados del triángulo rectángulo, cuyas ecuaciones son:

y = x (recta OA),

y = -x + 5 (recta AB),

x = 0 (recta OB, que es el eje coordenado OY),

y observa que el ángulo recto del triángulo es el que orresponde al vértice A.

a)

Planteas la intersección de la recta OA con la recta AB, y queda el sistema de dos ecuciones con dos incógnitas:

y = x,

y = -x + 5,

a continuación igualas expresiones, y queda:

x = -x + 5, aquí sumas x en ambos miembros, y queda:

2x = 5, ahora divides por 2 en ambos miembros, y queda:

x = 5/2,

a continuación reemplazas este último valor remarcado en las ecuaciones de las rectas, resuelves, y en ambas queda:

y = 5/2,

por lo que tienes que las dos rectas en estudio se cortan en el punto cuya expresión es: A(5/2;5/2).

b)

Planteas la intersección de la recta OA con la recta OB, y queda el sistema de dos ecuciones con dos incógnitas:

y = x,

x = 0,

a continuación reemplazas el valor remarcado en la primera ecuación, y queda:

y = 0,

por lo que tienes que las dos rectas en estudio se cortan en el punto cuya expresión es: O(0;0).  

c)

Planteas la intersección de la recta AB con la recta OB, y queda el sistema de dos ecuciones con dos incógnitas:

y = -x + 5,

x = 0,

a continuación reemplazas el valor remarcado en la primera ecuación, la resuelves, y queda:

y = 5,

por lo que tienes que las dos rectas en estudio se cortan en el punto cuya expresión es: B(0;5). 

d)

Planteas las expresiones de las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo, y queda:

|OA| = d(O;A) = √( [5/2 - 0]2 + [5/2 - 0]2 ) = √( 25/4 + 25/4 ) = √( [25/4]*2 ) = √((25/4)*√(2) = (5/2)*√(2),

|AB| = d(A;B) = √( [0 - 5/2]2 + [5 - 5/2]2 ) = √( 25/4 + 25/4 ) = √( [25/4]*2 ) = √((25/4)*√(2) = (5/2)*√(2), 

a continuación planteas la expresión del área del triángulo rectángulo, en función de las longitudes de sus catetos, y queda:

S = |OA|*|AB|/2, aquí reemplazas los valores de las longitudes de los catetos, y queda:

S = [ (5/2)*√(2) * (5/2)*√(2) ]/2, resuelves esta expresión, y queda:

S = (25/8)*[ √(2) ]², simplificas raíz y potencia en el último factor, y queda:

S = (25/8)*2, simplificas, y queda:

S = 25/4.

Espero haberte ayudado.

3a)

Tienes la expresión de la función:

f(x) = √(x - 4),

y aquí observa:

1°)

que el argumento de la raíz cuadrada debe tomar valores positivos o ser igual a cero, por lo que puedes plantear la inecuación:

x - 4 ≥ 0, aquí sumas 4 en ambos miembros, y queda:

x ≥ 4, que es la condición que cumplen los elementos que pertenecen al dominio de la función, el cual queda expresado como el intervalo:

D_f = [ 4 ; +∞ );

2°)

que en la expresión de la función tienes una raíz cuadrada positiva, y cuyo argumento toma valores positivos que crecen indefinidamente a medida que los valores de la variable independiente "x" crecen infefinidamente, por lo que tienes que los valores que toma la expresión de la función son valores reales mayores o iguales que cero, por lo que queda expresado como el intervalo:

R_f = [ 0 ; + ∞ ).

Luego, planteas la ecuación correspondiente a la gráfica de la función, y queda:

y = f(x), aquí sustituyes la expresión de la función en el segundo miembro, y queda:

y = √(x - 4), ahora elevas al cuadrado en ambos miembros, y queda:

y² = x - 4, aquí sumas 4 en ambos miembros, y a continuación despejas:

x = y² + 4, 

que es la expresión explícita de un elemento perteneciente al dominio, en función del elemento que le corresponde que pertenece al recorrido,

a continuación, permutas variables, y queda la ecuación:

y = x² + 4, 

que es la ecuación de la gráfica de la función inversa, cuya expresión queda:

g(x) = x² + 4,

cuyo dominio y recorrido quedan expresados por los intervalos:

D_g = [ 0 ; + ∞ ),

R_g = [ 4 ; + ∞ ). 

Te mostramos en la figura parte de las gráficas de las dos funciones.

3b)

Tienes la expresión de la función:

f(x) = 2^{x + 1},

y aquí observa:

1°)

que la expresión que tienes en el exponente puede tomar cualquier valor real, por lo que no tienes restricciones para la variable independiente "x", por lo que el dominio de la función es el conjunto de los números reales, por lo que queda expresado como el intervalo:

D_f = ( -∞ ; +∞ );

2°)

que la expresión de la función es exponencial, por lo que ya tienes que sus valores son estrictamente positivos, y si en el exponente tienes un valor negativo cuyo valor absoluto es mucho mayor que cero tienes que la función toma valores próximos a cero, y si en el exponente tienes un valor positivo mucho mayor que cero tienes que la función toma valores que crecen indefinidamente, por lo que tienes que la función toma valores estrictamente positivos, y queda expredado como el intervalo:

R_f = ( 0 ; +∞ ).

Luego, planteas la ecuación correspondiente a la gráfica de la función, y queda:

y = f(x), aquí sustituyes la expresión de la función en el segundo miembro, y queda:

y = 2^{x + 1}, ahora compones en ambos miembros con la función logarítimica natural,, y queda:

Ln(y) = Ln(2^{x + 1}), aquí aplicas la propiedad del logaritmo de una potencia en el segundo miembro, y queda::

Ln(y) = (x + 1)*Ln(2), ahora divides por Ln(2) en ambos miembros, y queda:

Ln(y)/Ln(2) = x + 1, aquí restas 1 en ambos miembros, y a continuación despejas:

x = Ln(y)/Ln(2) - 1,

que es la expresión explícita de un elemento perteneciente al dominio, en función del elemento que le corresponde que pertenece al recorrido,

a continuación, permutas variables, y queda la ecuación:

y = Ln(x)/Ln(2) - 1, 

que es la ecuación de la gráfica de la función inversa, cuya expresión queda:

g(x) = Ln(x)/Ln(2) - 1,

cuyo dominio y recorrido quedan expresados por los intervalos:

D_g = ( 0 ; + ∞ ),

R_g = [ -∞ ; +∞ ). 

Te mostramos en la figura parte de las gráficas de las dos funciones. 

3c)

Tienes la expresión de la función:

f(x) = √(x + 3)/(2x - 1),

y aquí observa:

1°)

que el argumento de la raíz cuadrada que tienes en el numerador debe tomar valores positivos o ser igual a cero, y que la expresión polinómica que tienes en el denominador no puede tomar el valor cero, por lo que puedes plantear la inecuación y la ecuación "negada":

x + 3 ≥ 0, aquí restas 3 en ambos miembros, y queda: x ≥ -3,

2x - 1 ≠ 0, aquí sumas 1 en ambos miembros, a continuación divides por 2 en ambos miembros, y queda: x ≠ 1/2,

que son las condiciones que cumplen los elementos que pertenecen al dominio de la función, el cual queda expresado como el intervalo (observa que los elementos que pertenecen al dominio deben ser números reales mayores o iguales que -3, y distintos de 1/2):

D_f = [ -3 ; 1/2 ) ∪ ( 1/2 ; +∞ );

2°)

te mostramos parte de la gráfica de la función en la figura, y en ella observa que el punto cuya ordenadas es igual a cero es: A(-3;0) y pertenece a la gráfica, y observa además que la gráfica se extiende indefinidamente con el sentido positivo del eje coordenado OY, y también con el sentido negativo de dicho semieje, por lo que puedes visualizar que los valores que toma la función son números reales, por lo que el recorrido de la función queda expresado como el intervalo:

R_f = ( -∞ ; + ∞ ). 

Espero haberte ayudado.