Yaser
Deriva en dos maneras: primera, usando la regla del cociente; luego, dividiendo las expresiones antes de derivar. Gracias.
1)
a)
Planteas la derivación con Regla de una División de Funciones, y queda:
F'(x) = [ (x³ + 27)' * (x + 3) - (x³ + 27) * (x + 3)' ] / (x + 3)²,
aquí sustituyes las expresiones derivadas (observa que cancelamos sus términos nulos), y queda:
F'(x) = [ 3*x² * (x + 3) - (x³ + 27) * 1 ] / (x + 3)²,
ahora distribuyes factores comunes en ambos términos en el numerador, y queda:
F'(x) = [ 3*x³ + 9*x² - (x³ + 27) ] / (x + 3)²,
a continuación distribuyes el signo con el agrupamiento en el numerador, y queda:
F'(x) = [ 3*x³ + 9*x² - x³ - 27 ] / (x + 3)²,
aquí extraes factor común con los dos primeros términos, y con los dos últimos términos, en el numerador, y queda:
F'(x) = [ 3*x²*(x + 3) - (x³ + 27) ] / (x + 3)²,
ahora factorizas la sumas de cubos perfectos que tienes en el segundo término en el numerador, y queda:
F'(x) = [ 3*x²*(x + 3) - (x + 3)*(x² - 3*x + 9) ] / (x + 3)²,
aquí extraes factor común: (x + 3) en el numerador, y queda:
F'(x) = (x + 3) * [ 3*x² - (x² - 3*x + 9) ] / (x + 3)²,
a continuación simplificas el factor común con el denominador común, y queda:
F'(x) = [ 3*x² - (x² - 3*x + 9) ] / (x + 3),
ahora distribuyes el signo con el agrupamiento en el numerador, reduces términos semejantes, y queda:
F'(x) = [ 2*x² + 3*x - 9) ] / (x + 3),
aquí factorizas el polinomio cuadrático en el numerador (observa que su coeficiente principal es 2), y queda:
F'(x) = 2*(x + 3)*(x - 3/2) / (x + 3),
a continuación simplificas, y queda:
F'(x) = 2*(x - 3/2),
aquí distribuyes, y queda:
F'(x) = 2*x - 3.
b)
Factorizas la suma de cubos perfectos que tienes en el numerador en la expresión de la función en estudio, y queda:
F(x) = (x + 3)*(x² - 3*x + 3)/(x + 3),
aquí simplificas, y queda:
F(x) = x² - 3*x + 3,
a continuación derivas, y queda:
F'(x) = 2*x - 3*1 + 0 = 2*x - 3.
2)
a)
Planteas la derivación con Regla de una División de Funciones, y queda:
F'(t) = [ (t² - 25)' * (t - 5) - (t² - 25) * (t - 5)' ] / (t - 5)²,
aquí sustituyes las expresiones derivadas (observa que cancelamos sus términos nulos), y queda:
F'(t) = [ 2*t * (t - 5) - (t² - 25) * 1 ] / (t - 5)²,
ahora distribuyes factores comunes en ambos términos en el numerador, y queda:
F'(t) = [ 2*t² - 10*t - (t² - 25) ] / (t - 5)²,
a continuación distribuyes el signo con el agrupamiento en el numerador, y queda:
F'(t) = [ 2*t² - 10*t - t² + 25 ] / (t - 5)²,
aquí extraes factor común con los dos primeros términos, y con los dos últimos términos, en el numerador, y queda:
F'(t) = [ 2*t*(t - 5) - (t² - 25) ] / (t - 5)²,
ahora factorizas la resta de cuadrados perfectos que tienes en el segundo término en el numerador, y queda:
F'(t) = [ 2*t*(t - 5) - (t + 5)*(t - 5) ] / (t - 5)²,
aquí extraes factor común: (t - 5) en el numerador, y queda:
F'(t) = (t - 5) * [ 2*t - (t + 5) ] / (t - 5)²,
a continuación simplificas el factor común con el denominador común, reduces términos semejantes en el numerador, y queda:
F'(t) = [ t - 5 ] / (t - 5),
a continuación simplificas, y queda:
F'(t) = 1.
b)
Factorizas la resta de cuadrados perfectos que tienes en el numerador en la expresión de la función en estudio, y queda:
F(t) = (t + 5)*(t - 5)/(t - 5),
aquí simplificas, y queda:
F(t) = t + 5,
a continuación derivas, y queda:
F'(t) = 1 + 0 = 1.
Espero haberte ayudado.