Max
Hola a todos. Estaba estudiando una guía sobre planos y vectores y me topé con el siguiente ejercicio. El problema que tengo es que, con lo que he aprendido hasta ahora, no logro obtener una ecuacion del plano donde los parametros de la ecuacion vectorial estén eliminados y solo aparescan las variables (x,y,z) en la ecuación. Encontré unos videos que explicaban problemas similares, pero en todos terminan usando matrices y hasta ahora no he visto esa materia. Me parece raro haberme topado con un ejercicio que requiera matrices si no las he estudiado aún 🤔. ¿Hay alguna forma más sensilla de resolver el ejercicio que no requiera matrices?. Si no la hay de todas formas me serviria la explicación del problema, ya que acabo de ver unos cuantos videos sobre matrices y no se ven tan dificiles, tal vez en unas horas puedo aprender bien el tema y despues puedo cotejar lo aprendido con la explicación del ejercicio. Gracias de antemano por la ayuda.
Planteas la expresión del vector aplicado en el punto (-1;2;3) con extremo en el punto (3;1;4), y queda:
b = < 3-(-1) ; 1-2 ; 4-3 > = < 4 ; -1 ; 1 >,
y observa que este vector se halla en el plano que tienes en estudio,
a continuación planteas la expresión de un vector normal a dicho plano, como el producto vectorial de los dos vectores que se hallan en el mismo, y queda:
n = a x b = < 0 ; 0 ; 1 > x < 4 ; -1 ; 1 > = < 1 ; 4 ; 0 >,
a continuación planteas la expresión de un vector genérico que se halla en el plano, aplicado en el punto (-1;2;3) y con extemo en el punto genérico P(x;y;z), y queda:
u = < < x-(-1) ; y-2 ; z-3 > = < x+1 ; y-2 ; z-3 >;
luego, con estas dos últimas expresiones vectoriales, planteas la ecuación vectorial del plano en estudio, y queda:
n • u = 0,
aquí sustituyes expresiones vectoriales en el primer miembro, y queda:
< 1 ; 4 ; 0 > • < x+1 ; y-2 ; z-3 > = 0,
a continuación desarrollas el producto escalar de dos vectores que tienes en el primer miembro, y queda:
1*(x + 1) + 4*(y - 2) + 0*(z - 3) = 0,
aquí distribuyes en los dos primeros términos, cancelas el tercer término porque es igual a cero, y queda:
x + 1 + 4*y - 8 = 0,
ahora reduces términos semejantes, y queda:
x + 4*y - 7 = 0,
a continuación multiplicas por -1 en todos los términos, y queda:
-x - 4*y + 7 = 0,
y puedes concluir que la opción (B) es la respuesta correcta.
Espero haberte ayudado.
Bueno, creo que este contenido de "Geometría analítica del espacio " se hace más complejo de asimilar si no tienes conocimientos del álgebra vectorial y del trabajo con matrices y determinantes pues requiere en gran medida de sus aplicaciones, de hecho, un producto vectorial de dos vectores es un determinante. Entonces te adjunto dos vias.
Gráficos auxiliares donde se representan los puntos P1 y P2 pertenecientes al plano, el vector de posición a, el vector normal al plano N y el plano encontrado. Saludos.
Vamos con un planteo algebraico alternativo.
Tienes dos puntos que pertenecen al plano en estudio: A(-1;2;3) y B(3;1;4),
y como tienes que el vector a = < 0 ; 0 ; 1 > se halla en el plano, y tienes además que este vector es paralelo al eje coordenado OZ, entonces tienes que las ecuaciones cartesianas implícitas del plano en estudio son independientes de las coordenada "z" (recuerda: si un plano es paralelo a uno de los ejes coordenados, entonces tienes que sus ecuaciones cartesianas no dependen de la coordenada correspondiente a dicho eje), por lo que tienen la forma general:
a*x + b*y + d = 0 (1),
en la que "a", "b" y "d" son coeficientes reales a determinar, con: a ≠ 0 o b ≠ 0;
luego, como el punto A pertenece al plano, reemplazas sus coordenadas en la ecuación general señalada (1), y queda.
a*(-1) + b*2 + d = 0,
aquí resuelves expresiones, y quda:
-a + 2*b + d = 0,
y de aquí despejas:
d = a - 2*b (2);
luego, como el punto B pertenece al plano, reemplazas sus coordenadas en la ecuación general señalada (1), y queda.
a*3 + b*1 + d = 0,
aquí resuelves expresiones, y quda:
3*a + b + d = 0,
aquí sustituyes la expresión señalada (2) en el tercer término, y queda:
3*a + b + a - 2*b = 0,
ahora reduces términos semejantes, y queda:
4*a - b = 0,
y de aquí despejas:
b = 4*a,
a continuación sustituyes esta última expresión en el último término en la ecuación señalada (2), y queda:
d = a - 2*4a,
aquí resuelves, y queda:
d = -7*a;
luego, sustituyes las dos últimas expresiones remarcadas en la ecuación general del plano en estudio señalada (1), y queda:
a*x + 4*a*y - 7*a = 0,
y aquí observa que tienes un conjunto de ecuaciones cartesianas implícitas, ya que tienes una ecuación para cada valor real del coeficiente "a" que sea distinto de cero,
a continuación remplazas el valor: a = -1 en esta última ecuación, resuelves expresiones, y queda:
-x - 4*y + 7 = 0,
y puedes concluir que la opción (B) es la respuesta correcta.
Espero haberte ayudado.
Con estos gráficos se aprecia mejor el trabajo con los vectores que dieron lugar al resultado del plano obtenido.