Yaser
Me gustaría saber cómo es esta integral doble. Gracias.
Tienes tu integral doble:
0∫1 y∫y+2 ( 1/√(x + y) )*dx*dy =
ahora integras con respecto a la variable "x" (recuerda la integral indefinida: ∫ ( 1/√(x + a) )*dx = 2*√(x + a) + C, y observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= 0∫1 [ 2*√(x + y) ]*dy =
a continuación evalúas entre x = y y x = y + 2, resuelves exry queda:
= 0∫1 ( 2*√(y + 2 + y) - 2*√(y + y) )*dy =
aquí reduces términos semejantes en los argumentos en ambas raíces cuadradas, y queda:
= 0∫1 ( 2*√(2*y + 2) - 2*√(2*y) )*dy =
ahora extraes factor común en el argumento en la primera raíz, y queda:
= 0∫1 ( 2*√(2*(y + 1)) - 2*√(2*y) )*dy =
a continuación distribuyes las raíces entre los dos factores que tienen en sus argumentos, y queda:
= 0∫1 ( 2*√(2)*√(y + 1) - 2*√(2)*√(y) )*dy =
a continuación integras con respecto a la variable "y" (observa que indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow, y recuerda las integrales indefinidas: ∫ √(y + 1)*dy = (2/3)*√((y + 1)³) + C, y ∫ √(y)*dy = (2/3)*√(y³) + C):
= [ 2*√(2)*√((y + 1)³) - 2*√(2)*√(y³) ] =
aquí evalúas entre y = 0 e y = 1, resuelves, y queda:
= 2*√(2)*√((1 + 1)³) - 2*√(2)*√(1³) - ( 2*√(2)*√((0 + 1)³) - 2*√(2)*√(0³) ) =
ahora resuelves expresiones en los argumentos en las raíces cuadradas, distribuyes el signo en el agrupamiento, cancelas el último término (observa que es igual a cero), y queda:
= 2*√(2)*√(8) - 2*√(2)*√(1) - 2*√(2)*√(1) =
ahora resuelves expresiones en todos los términos ( recuerda: √(2)*√(8) = √(2*8) = √(16) = 4, y √(2)*√(1) = √(2)*1 = √(2) ), y queda:
= 8 - 4*√(2).
Espero haberte ayudado.