Yaser
Encuentra la integral doble cambiándola a coordenadas polares. Pasoo a paso, por favor. Gracias.
Vamos con una orientación.
Observa nuestra figura, en la que tienes representado el "recinto de integración" al que denominamos "D", y que correspondiente a tu integral doble.
Luego, observa que tu integral doble está expresada con coordenadas cartesianas, y que los intervalos de integración son:
1°)
0 ≤ x ≤ y,
y aquí observa que tinees indicado que la región está limitada (observa que la variable "x" corresponde al eje horizontal OX):
- "por la izquierda" por la recta cuya ecuación es: x = 0, que consiste en el eje OY,
- "por la derecha" por la recta cuya ecuación es: x = y, que consiste en la recta bisectriz correspondiente al primer cuadrante y al tercer cuadrante,
2°)
0 ≤ y ≤ 3,
y ahora observa que en el recinto de integración "D" tienes:
- que el "punto más bajo" es el origen de coordenadas (o "polo"), cuya ordenada es: y = 0,
- que el "los puntos más altos" pertenecen a la recta cuya ecuación es: y = 3.
Luego, como la "forma" del recinto de integración D es un triángulo rectángulo isósceles, cuya base es el segmento cuyos extremos son los puntos (0;3) y (3;3), cuya altura es el segmento cuyos extremos son los puntos (0;0) y (0;3), y que su hipotenusa es el segmento cuyos extremos son los puntos (0;0) y (3;3), entonces, aunque esta integral doble se resuelve en forma sencilla con coordenadas carteianas (haz el intento, a fin de comparar resultados), también es posible considerar un cambio a coordenadas polares y, para visualizar los nuevos límites de integración, observa que hemos trazado "rayos" radiales desde el centro del recinto y observa:
- que "todos los rayos nacen en el origen de coordenadas (o "polo"), cuya expresión en coordenadas polares es: r = 0,
- que "todos los rayos finalizan en la recta, cuya ecuación en coordenadas polares es: r = 3/senθ (1),
- que "el primer rayo se encuentra sobre la recta, cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = π/4 (2),
- que "el último rayo se encuentra sobre el semieje OY positivo", cuya ecuación en coordenadas polares es: θ = π/2 (3),
y con todo, tienes que el recinto de integración D queda descrito en coordenadas polares por las inecuaciones dobles:
0 ≤ r ≤ 3/senθ,
π/4 ≤ θ ≤ π/2,
además, recuerda las expresiones de diferencial de área:
dA = dx*dy = dy*dx (en coordenadas cartesianas),
dA = r*dr*dθ (en coordenadas polares).
Luego, observa que en el argumento en tu integral doble, tienes la expresión de la función a integrar:
f(x;y) = √(x² + y²),
cuya expresión en coordenadas polares queda:
f(r;θ) = r (4).
Luego, tienes la integral doble en estudio:
0∫3 0∫y √(x² + y²)*dx*dy =
aquí aplicas el cambio a coordenadas polares, y queda:
= π/4∫π/2 0∫3/senθ r*r*dr*dθ =
ahora resuelves la multiplicación en el argumento, y queda:
= π/4∫π/2 0∫3/senθ r²*dr*dθ =
ahora integras con respecto a la variable "r" (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
= π/4∫π/2 [ (1/3)*r³ ]*dθ =
a continuación evalúas entre r = 0 y r = 3/senθ, y queda:
= π/4∫π/2 ( (1/3)*(3/senθ)³ - (1/3)*0³ )*dθ =
aquí resuelves la expresión en el primer término, cancelas el segundo término (observa que es igual a cero), y queda:
= π/4∫π/2 9*( 1/(senθ)³ )*dθ =
ahora multiplicas en el numerador y en el denominador por "senθ", y queda:
= π/4∫π/2 9*( senθ/(senθ)⁴ )*dθ =
a continuación aplicas la identidad trigonométrica: (senθ)⁴ = ( (senθ)² )² = ( 1 - (cosθ)² )², y queda:
= π/4∫π/2 9*( senθ/( 1 - (cosθ)² )² )*dθ =
aquí ordenas expresiones en el argumento, y queda:
= π/4∫π/2 9*( 1/( 1 - (cosθ)² )² )*senθ*dθ =
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Planteo Auxiliar.
Puedes plantear la sustitución (o cambio de variable): w = cosθ, cuyo diferencial queda: dw = -senθ*dθ, y al multiplicar por -1 en ambos miembros, esta última ecuación queda: -dw = senθ*dθ, y considera la integral indefinida correspondiente:
∫ 9*( 1/( 1 - (cosθ)² )² )*senθ*dθ =
aquí aplicas la sustitución, y queda:
= ∫ 9*( 1/(1 - w²)² )*(-dw) =
ahora resuelves el coeficiente, y queda:
= ∫ -9*( 1/(1 - w²)² )*dw = (*)
y esta integral se resuelve con Método de las Fracciones Simples (o Parciales), que tú has dicho en una consulta anterior que no lo han estudiado en tus cursos, por lo que deberás consultar con tus docentes al respecto, o hacernos saber llegado el caso, y haremos un vídeo con el resto de este planteo, que de por sí es bastante largo.
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Notas.
Recuerda las expresiones de las coordenadas cartesianas, expresadas en función de las coordenadas polares:
x = r*cosθ (A),
y = r*senθ (B),
a continuación:
(1)
Tienes la recta cuya ecuación cartesianas es:
y = 3,
aquí sustituyes la expresión señalada (B), y queda:
r*senθ = 3,
y de aquí despejas:
r = 3/senθ,
que es su ecuación correspondiente en coordenadas polares.
(2)
Tienes la recta cuya ecuación cartesianas es:
x = y,
aquí sustituyes las expresiones señaladas (A) (B), y queda:
r*cosθ = r*senθ,
ahora divides por "r*cosθ" en ambos miembros, simplificas, y queda:
1 = senθ/cosθ,
a continuación aplicas la identidad trigonmétrica elemental para la tangente, y queda:
1 = tanθ,
y de aquí despejas:
tanθ = 1,
ahora compones en ambos miembros con la función inversa de la tangente (aquí recurre a tu calculadora científica), y queda:
θ = π/4,
que es su ecuación correspondiente en coordenadas polares.
(3)
Tienes la recta cuya ecuación cartesianas es:
y = 0,
aquí sustituyes la expresión señalada (B), y queda:
r*senθ = 0,
ahora divides por "r" en ambos miembros, y queda:
senθ = 0,
hora compones en ambos miembros con la función inversa de la tangente (aquí recurre a tu calculadora científica, y observa que consideras al semieje OY positivo), y queda:
θ = π/2,
que es su ecuación correspondiente en coordenadas polares.
(4)
Tienes la expresión de la función a integrar en coordenadas cartesianas:
f(x;y) = √(x² + y²),
aquí sustituyes las expresiones señaladas (A) (B), y queda:
f(r;θ) = √( (r*cosθ)² + (r*senθ)² ),
ahora resuelves expresiones en ambos términos en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:
f(r;θ) = √( r²*(cosθ)² + r²*(senθ)² ),
a continuación extraes factor común, y queda:
f(r;θ) = √( r²*((cosθ)² + (senθ)²) ),
aquí aplicas la identidad trigonométrica fundamental (o pitagórica), y queda:
f(r;θ) = √( r²*(1) ),
a continuación resuelves en el argumento en la raíz cuadrada, y queda:
f(r;θ) = √( r² ),
aquí simplificas, y queda:
f(r;θ) = r,
que es su expresión en coordenadas polares.
Queda para ti decirnos si necesitas resolver la segunda integral en coordenadas polares, o si te permiten apelar a una Tabla de Integrales, que es lo que se estila en muchos cursos de Cálculo, cuando una integración es demasiado tediosa.
A pesar de todo, espero haberte ayudado.