Pol Serra
¡Buenas a todo el mundo!
Tengo la duda de saber cuál es el rango de esta función, ya que yo diría que es [2,-∞) y me dicen que es (2,-∞).Sea cuál sea la respuesta me gustaría saber el porque de una y no la otra. La función en cuestión es la de la imagen que adjunto.
Muchas gracias por vuestra atención.
Att: Pol Serra
Si, el rango o imágen de la función es como planteas [2,-∞). La función es contínua en x=2, sus limites unilaterales por derecha e izquierda del punto son iguales e igual al valor de la función evaluada en x=2.
Grafico de función
Vamos con una forma alternativa.
Para el primer trozo, tienes la condición:
x < 2, aquí multiplicas por 2 en ambos miembros (recuerda que no cambia la desigualdad), y queda:
2x < 4, ahora sumas 2 en ambos miembros, y queda:
2x + 2 < 6, aquí divides por 3 en ambos miembros, y queda:
(2x + 2)/3 < 2, ahora sustituyes la expresión de la función para este trozo en el primer miembro, y queda:
f(x) < 2,
por lo que el subconjunto incluido en la imágen que corresponde a este trozo es el intervalo infinito semiabierto:
I1 = ( -∞ ; 2 ).
Para el segundo trozo, tienes la condición:
x ≥ 2, aquí multiplicas por -2 en ambos miembros (recuerda que cambia la desigualdad), y queda:
-2x ≤ -4, ahora sumas 6 en ambos miembros, y queda:
-2x + 6 ≤ 2, ahora sustituyes la expresión de la función para este trozo en el primer miembro, y queda:
f(x) ≤ 2,
por lo que el subconjunto incluido en la imágen que corresponde a este trozo es el intervalo infinito semicerrado:
I2 = ( -∞ ; 2 ].
Luego, planteas la expresión de la imagen de la función como la unión de los dos intervalos correspondientes a los dos trozos, y queda:
I = ( -∞ ; 2 ) ∪ ( -∞ ; 2 ] = ( -∞ ; 2 ].
Espero haberte ayudado.
¡Muchisimas gracias por vuestra ayuda!