Pol Serra
¡Hola!
Tengo una duda respecto a la continuidad y dominio de funciones a trozos. En la función de la imagen (adjunto imagen), nos dicen estudiar la continuidad. Cuando me dispongo a ello, veo y analizo que en x=-1 la función es continua, pero luego al mirar las dos funciones racionales me dispongo a ver en 2x/x-1, si hay una posible discontinuidad al haver una asíntota, en este caso no hay problema porque el denominador se anula en x=1, y según el dominio de la función x<-1, por lo tanto, nunca va a tomar ese valor, asi que en principio con la primera funcion no hay problema.
Pero al analizar la segunda función, (x2+3x+1)/x, veo que el denominador si x=0 se anula y hay una asíntota vertical, y viendo el dominio x≥-1, en este caso si que puede tomar el valor x=0, por eso aquí hay una posible discontinuidad, que en este caso es inevitable de salto infinito.
Si mi procedimiento es correcto, no entiendo por qué marca como respuesta correcta que la función es continua en todo su dominio, cuando no es así, ya que en la parte del dominio x≥-1, no sería continua, ya que en x=0 se encontraría con una asíntota vertical. Para mí, la respuesta correcta es que la función es continua en todo su dominio menos en x=0.
Gracias por vuestra atención, os estaré agradecido si me ayudáis y me aclaráis si es un error de concepto o procedimiento mío o si realmente consiste en un error.
Saludos!
Pol Serra
Buenas Pol,
Se trata de una función perfectamente continua (ya que las funnciones o son continuas o no, no hay que decir donde). En este caso además especifican (aunque no haría falta) que es continua en su dominio.
Fíjate que el dominio no incluye al 0, puesto que no se puede dividir. Por lo tanto ambos llevaís razón en la continuidad, pero se te olvidó mirar el dominio de la función. Un error que nos puede ocurrir a cualquiera.
Vamos con un desarrollo alternativo.
Tienes la expresión de la función en dos trozos:
f(x) =
2*x/(x - 1) ................................................... x < -1 (trozo A),
(x2 + 3*x + 1)/x ........................................... x ≥ -1 (trozo B),
a continuación tú señalas correctamente:
que el trozo A está definido para todos los valores de la varibale "x" que le corresponden (observa que su expresión se indetermina para x = 1, que no es un valor estrictamente menor que -1),
y que el trozo B esta definido para todos los valores que le correxponden, excepto para x = 0 (observa que su expresión se indetermina para x = 0, que es un valor mayor o igual que 1), por y tienes establecido que el dominio de la función es el conjunto:
D = R - {0},
y que la definición de la función, correctamente ajustada a su dominio, queda:
f(x) =
2*x/(x - 1) ................................................... x < -1 (trozo A),
(x2 + 3*x + 1)/x ........................................... -1 ≤ x < 0 o x > 0 (trozo B),
a continuación, como señala el colega Ernesto, tienes que la función es continua en todo su dominio por lo que la segunda opción en tu solucionario es la respuesta correcta, y también es correcto tu comentario: la gráfica de la función presenta asíntota paralela al eje OY, cuya ecuación es: x = 0.
Espero haberte ayudado.