Marco
Buenas tardes, necesito ayuda con una tarea, tengo la funcion polinomica x^3-12x^2+36x y viendo el grafico y aplicando la primer derivada encuentro que en x=2 y x=6 tengo un maximo y un minimo, se que ambos son locales pero ademas se podria considerar al x=6 como minimo absoluto o me equivoco? Gracias por la ayuda!
Así es Marcos. Si determinamos su 1ra derivada (f'(x)=3x^2-24x+36) e igualamos a cero obtenemos los valores de la variable x=2 y x=6
Evaluando estos valores en la 2da derivada f''(x)=6x-24 para x=2 tenemos f"(2)=-12<0 que representa un máximo. Para x=6, f"(6)=12>0 que representa un mínimo. O sea, un máximo en (2;32) y un mínimo en (6;0) Pero si te fijas estos valores son extremos absolutos.
Entonces ambos son absolutos? Estoy practicando y tengo parcial dentro de poco, se que son locales pero cual es el metodo para saber cuando son absolutos? veo que usaste la 2da derivada pero como seria?
Lo son porque la función no se restringe a un intervalo dado y su dominio es todos los reales (xεR) yen su dominio estos son los únicos valores extremos. O sea, para hallar el máx. y mín. absoluto de una función en un intervalo dado, se buscan todos los máximos y mínimos en el interior de ese intervalo y se hallan los valores de la función en los extremos del intervalo, en los puntos de discontinuidad de la función y en los puntos de discontinuidad de su derivada. Dentro de todos estos valores se determina cual es el mayor y cual el menor.
Si, use la 2da derivada con el objetivo de determinar si los puntos representan un máximo o un mínimo, este es un método. El otro método que puedes usar es el método de comparación de los signos de la derivada. Como te expliqué, en este caso los dos puntos son extremos absolutos
Supón ahora que esta misma función se le restringe el dominio al intervalo -2=<x<=9, entonces el mínimo absoluto será (-2;-128) y el máximo absoluto será (9;81)
Vamos con una precisión.
Si no tienes indicado que el dominio de la función en estudio es un intervalo, entonces asumes que en este caso el dominio de dicha función es el conjunto de los números reales.
Luego, de acuerdo con la definición de máximo absoluto de una función en su dominio:
f presenta un máximo absoluto en x = a, si para todo x perteneciente a su dominio se verifica: f(x) ≤ f(a),
a continuación observa que tú has determinado correctamente que la función presenta un máximo en x = 2 y que su valor es: f(2) = 32, y puedes observar que si evalúas su expresión, por ejemplo para x = 20, tienes: f(20) = 3504 > 32, por lo que tienes que la función presenta un máximo relativo en x = 2.
Luego, de acuerdo con la definición d emínimo absoluto de una función en su dominio:
f presenta un mínimo absoluto en x = b, si para todo x perteneciente a su dominio se verifica: f(x) ≥ f(b),
a continuación observa que tú has determinado correctamente que la función presenta un máximo en x = 6 y que su valor es: f(6) = 0, y puedes observar que si evalúas su expresión, por ejemplo para x = -1, tienes: f(-1) = -39 < 0, por lo que tienes que la función presenta un mínimo relativo en x = 6.
Espero haberte ayudado.
Bueno, creo que todo esto ya fue expresado.