Con respecto a tu primera pregunta, pareciera ser que faltan datos.
Con respecto a la segunda preegunta, planteas la ecuación cartesiana implícita del paraboloide, y queda:
0,5*x² + 0,5*y² + z - 4 = 0, que es la ecuación de una superfiice de nivel de la función diferenciable en R3, cuya expresión es:
f(x;y;z) = -0,5*x² - 0,5*y² + z - 4, cuyo vector gradiente queda expresado:
∇f(x;y;z) = < -x ; -y ; 1 >.
Luego, tienes que el plano tangente es paralelo al plano coordenado OXY, por lo que tienes que sus vectores normales deben ser múliplos escalares del vector característico del eje coordenado OZ: k = < 0 ; 0 ; 1 >; y, como el vector gradiente tiene la propiedad de ser perpendicular a los plantos tangentes a la gráfica de la supeficie de nivel en los correspondientes puntos de tangencia, igualas expresiones, y queda:
< -x ; -y ; 1 > = < 0 ; 0 ; 1 >, de donde puedes despejar: x = 0 e y = 0, que son los valores de la abscisa y de la ordenada del punto de tangencia;
luego, reemplazas estos valores en la ecuación de la superficie que tienes en tu enunciado, resuelves, y queda: z = 4, que es el valor de la cota del punto de tangencia, cuya expresión es: A(0;0;4);
luego, planteas la ecuación del plano cuyo vector normal es: k = < 0 ; 0 ; 1 >, y que passa por el punto A(0;0;4) (te dejo a ti el planteo formal), y la ecuación del plano tangente pedida queda:
z = 4.
Espero haberte ayudado.
Toda la razón, en la primera pregunta me faltó poner en P=(1,-1,5)