Antonio Escribano
En la ecuación trigonométrica tan(2x)=cot(x) se me presenta un problema:
Resolviendo en tangentes obtengo como soluciones x=30º+180º·k y x=150º+180º·k. Sin embargo, si paso todo a senos y cosenos, me aparece otra solución, x=90º+180º·k (gráficamente también aparece esta solución). He repasado varias veces el procedimiento utilizando tan(x) como variable de la ecuación y no encuentro el momento en que se pierde la solución que aportan el seno y coseno.
Mi pregunta es ¿cómo discierno qué ecuaciones puedo resolver pasando todo a tangentes y sin perder soluciones y cuáles necesito pasar a senos y cosenos? O, si alguno de mis procedimientos tiene un fallo, ¿podríais indicarme cuál?
Muchas gracias de antemano.
Tus dos formas están correctas, donde no concuerdo es en los resultados.
Expresando como tangente te queda finalmente tan(x)=±√(3)/3
Tienes que dar la solución para los cuatro cuadrantes más kπ, verdad?, porque se trata de la tangente. La tangente es positiva en I y III cuadrante y es negativa en II y IV cuadrante
Entonces tendrás (naturalmente aplicando las fórmulas de reducción), para primero y tercero respectivamente: (π/6)+kπ y (7π/6)+kπ
Para segundo y cuarto: (5π/6)+kπ y (11π/6)+kπ
Si trabajas con senos y cosenos es lo mismo, tu ecuación está bien. Tienes finalmente el resultado de dos ecuaciones
cos(x)=0 que arroja:
x=(π/2)+2kπ y x=(3π/2)+2kπ
Para: 4sen2(x)-1=0 tendrás sen(x)=±1/2 El seno es positivo en I y II, y negativo en III y IV. Aplicamos fórmulas de reducción:
Para I y II cuadrantes: (π/6)+2kπ y (5π/6)+2kπ
Para III y IV cuadrantes: (7π/6)+2kπ y (11π/6)+2kπ
Las soluciones en tangentes que tú me dices creo que son las mismas que las que yo tengo porque π/6 + π es π7π/6 y 5π/6 + π es 11π/6.
No obstante mi problema es que si tesuelvo en tangentes pierdo la solución π/2+ kπ y no sé por qué.
Trabajando con tangente se obtienen 4 soluciones para I, II, III y IV cuadrante pero se pierden dos donde las funciones se igualan en su cruce por cero, o sea, π/2 y 3π/2 todas +kπ
Trabajando en base a seno y coseno se obtienen todas las soluciones, las seis +2kπ
Escribamos esto nuevamente con otro editor y de forma completa para que se vea mejor. Ya tú hiciste la mayor parte, la repito para que esté completo. Primeramente la ecuación trigonométrica en base a seno y coseno.
Aquí puedes ver que se obtienen los seis resultados, en 30 grados (π/6) y 210 grados (7π/6) se igualan las funciones tan(2x) y cot(x) en los positivos. Para 150 grados (5π/6) y 330 grados (11π/6) se igualan en los negativos. Para 90 grados (π/2) y 270 grados (3π/2) se igualan en sus cruce por cero.
Sucede que si se trabaja con la tangente, o sea, llevando la ecuación a tangente se pierden dos resultados de los seis. Los que pertenecen a los cruce por cero de las funciones (π/2 y 3π/2)
Muchas gracias por tus aportaciones, pero precisamente mi duda es en qué casos puedo resolver en tangentes y no perder soluciones y en qué casos no debo hacerlo por perder soluciones, porque hay otras ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas que no darían ese problema.
vamos con una orientación.
Observa que al sustituir la expresión de la cotangente por tangente:
cotgx = 1/tanx,
debes tener en cuenta que la tangente no puede tomar el valor cero, por lo que no estás considerando todos los valores:
x = 90° + 180°*k, con: k ∈ Z,
y observa que la expresión remarcada corresponde a todos los valores en los que la función tangente no está definida.
Espero haberte ayudado.
De igual manera la cotangente se indefine en kπ. Sustituir cotangente por su identidad 1/tan(x) no afecta la expresión ni solución de la ecuación. El problema es que la ecuación inicial está basada en la tangente del ángulo duplo, la tan(2x) cruza por cero en (k π/2), o sea, para el primer periodo en 0; π/2; π; 3π/2; y 2π, donde están contenidas las dos soluciones perdidas (π/2 y 3π/2). Al aplicar el cambio a ángulo simple tan(2x)=(2tan(x))/(1-tan^2(x)), la tangente ahora se indefine en (2k+1)(π/2), para el primer periodo precisamente en π/2 y 3π/2
Al trabajar con senos y cosenos, funciones periódicas contínuas, pueden obtenerse todos los resultados. Por tanto, debe tenerse cuidado fundamentalmente en las funciones trigonométricas tan, secante y sus cofunciones si se precisa un cambio de este tipo.
Veamos por separado tan(2x) y 2tan(x)/(1-tan^2(x) y puede anotarse como la función para el ángulo simple ahora se indefine en (2k+1)(π/2)