Joao M.
Puede alguien ayudarme con la respuesta de este ejercicio? _¿Como podría solucionar principalmente los apartados "a" y "b"_?
Gracias.
Vamos con una orientación.
Aquí aplicas Teorema Fundamental del Cálculo Integral, y la expresión de la derivada primera de la función en estudio queda:
f ' (x) = cos[(π/2)*x4] (1),
a continuación derivas nuevamente, y la expresión de la derivada segunda de la funciónen estudio queda (observa que aplicamos Regla de la Cadena):
f '' (x) = -sen[(π/2)*x4]*(π/2)*x3 = -(π/2)*x3*sen[(π/2)*x4] (2).
a)
1)
Observa que para que la gráfica de la función en estudio sea creciente, entonces debe ocurrir que la expresión señalada (1) toma valores positivos, por lo que tienes la condición:
cos[(π/2)*x4] > 0, con: x ≥ 0,
aquí compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y para la expresión: (π/2)*x4, tienes la unión de los intervalos:
(0;π/2) ∪ (3π/2;5π/2) ∪ (7π/2;9π/2) ∪ (11π/2;13π/2) ∪ ...
ahora multiplicas en los valores limitantes de estos intervalos por 2/π, y para la expresión: x4, tienes la unión de los intervalos:
(0;1) ∪ (3;5) ∪ (7;9) ∪ (11;13) ∪ ...
ahora extraes raíz cuarta positiva en los valores limitantes de estos intervalos, y para la variable "x", tienes la unión de los intervalos:
(0;1) ∪ (4√[3];4√[5]) ∪ (4√[7];4√[9]) ∪ (4√[11];4√[13]) ∪ ...
Observa que para que la gráfica de la función en estudio sea convexa, entonces debe ocurrir que la expresión señalada (2) toma valores negativos, por lo que tienes la condición:
-(π/2)*x3*sen[(π/2)*x4] < 0, con: x ≥ 0,
aquí multiplicas en ambos miembros por -2/π (observa que cambia la desigualdad), y qued:
x3*sen[(π/2)*x4] > 0, con: x ≥ 0,
a continuación observa que el primer factor en el primer miembro toma valores positivos, por lo que tienes que el segundo factor también debe tomar valores positivos, y puedes plantear la inecuación:
sen[(π/2)*x4] > 0, con: x ≥ 0,
aquí compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y para la expresión: (π/2)*x4, tienes la unión de los intervalos:
(0;π) ∪ (2π;3π) ∪ (4π;5π) ∪ (6π;7π) ∪ ...
ahora multiplicas en los valores limitantes de estos intervalos por 2/π, y para la expresión: x4, tienes la unión de los intervalos:
(0;2) ∪ (4;6) ∪ (8;10) ∪ (12;14) ∪ ...
ahora extraes raíz cuarta positiva en los valores limitantes de estos intervalos, y para la variable "x", tienes la unión de los intervalos:
(0;4√[23]) ∪ (4√[4];4√[6]) ∪ (4√[8];4√[10]) ∪ (4√[12];4√[14]) ∪ ...
b)
Planteas la condición de punto estacionario (posible máximo o posible mínimo en la gráfica de la función en estudio), por lo que igualas la expresión señalada (1) a cero, y queda la inecuación:
cos[(π/2)*x4] = 0,
aquí compones en ambos miembros con la función inversa del coseno, y queda:
(π/2)*x4 = π/2 + k*π, con: k ∈ N, k ≥ 0,
y de aquí despejas:
x = 4√(1 + 2*k), k ∈ N, k ≥ 0,
cuyos primeros valores son:
x0 = 1, x1 = 4√(3), x2 = 4√(5), ...
a continuación evalúas la expresión de la función derivada segunda señalada (2) para estos valores, y queda:
f '' (1) = -π/2 < 0,
por lo que ya tienes que la gráfica de la función convexa (o cóncava hacia abajo), en el punto estacionario cuya abscisa es: x0 = 1, y ya tienes que esta abscisa corresponde al "primer máximo" en la gráfica de la función.
Entonces, para x=1 la función tiene su primer máximo. Como puedo determinar el valor de f(x) en este punto?
Como podría determinar el límite del apartado C ?
Joao, saludos. Respondo adjunto a tus interrogantes sobre esta función. ¿Qué estudias? Te las ponen buenas!!!..., ¿de donde sacan esto?
Esta función integral representa geométricamente el área neta bajo la curva cos((π/2)x4). Por tanto, en el inciso (b), el significado geométrico del resultado obtenido representa el área bajo la curva de la función en el intervalo [0,1]
Para el (c), el significado geométrico del resultado obtenido es que representa el valor al cual tiende el área neta bajo la curva coseno desde cero al infinito. O sea, esta integral converge al valor obtendo.
Adjunto unas gráficas para mejor comprensión. En la primera, con trazo rojo, representa la función área del coseno planteado, o sea, tu función integral; con trazo azul, su primera derivada. Muestra claramente como en los cruces por cero de esta 1ra derivada, la función toma sus valores extremos.
En la segunda gráfica, está la misma función en rojo y en azúl su 2da derivada. Muestra como para los intervalos negativos de la 2da derivada, la función área es una curva convexa; y viceversa.
Los incisos (b) y (c). La gráfica muestra la función integral y su desarrollo en series con 4 términos para integrar de cero a 1.
Resultado de integral. Comprobando el resultado que obtuve...
Muy buenas,
Estuve antes jugando con la integral y encontré un método curioso para encontrar f(1). Os lo comparto por aquí por si os gusta también u os parece curioso.
Un saludo.
Utilizando otros métodos aproximativos. Uno, empleando segmentos de rectas para aproximar la curva mediante intervalos rectangulares trapezoidales de igual anchura; otro, utilizando parábolas en lugar de segmentos de rectas lo cual dará lugar a una mejor aproximación utilizando igual cantidad de segmentos en ambos casos.