Funciones

Hola Maricela.... Estos ejercicios se resuelven sustituyendo.

En el caso del apartado a, la t por 3 que son los segundos, y calculas la altura h

En el caso b, es al contrario, sustituyes el valor de la h por 32 y calculas el tiempo t mediante una ecuación de segundo grado.

Te adjunto para que lo veas. Espero que lo entiendas.

Un saludo.

Muy bien la explicación de la profesora Silvia. Quisiera decir algo más.

El problema dice que es una pelota lanzada verticalmente hacia arriba, pero un lanzamiento vertical no describe una trayectoria parabólica como la descrita por la pelota, debe ser un error de enfoque. Si describe una trayectoria parabólica se tuvo que haber lanzado con cierto ángulo de disparo. Maricela debes fijarte que geométricamente la ecuación describe una parábola que responde a la ecuación general y=ax²+bx+c. Es este caso, el coeficiente c es cero, por lo que la parábola tiene dos ceros y uno de ellos pasa por el origen de coordenadas. También el coeficiente a, en este caso, es negativo y te indica que la parábola abre hacia abajo, quiere decir que posee un punto de máximo. Tener dominio geométrico de varias funciones elementales te permite un mejor análisis del problema en cuestión y poder sacar conclusiones de manera más eficiente.

En este caso la ecuación representa una función de la altura que alcanza el objeto en función del tiempo transcurrido, como mismo te la pueden haber dado de la altura como función de la distancia horizontal recorrida.

Como bien te explicaba la profesora, encontraste por sustitución de datos la altura alcanzada a los tres segundos de lanzada la pelota, asi como el tiempo en que la pelota alcanza la altura de 32 metros. En este último caso, te darás cuenta que para cualquier altura se tendrán dos valores de tiempo ya que la ecuación que se obtiene es cuadrática y desde el punto de vista físico deduces que estos dos tiempos corresponden a los instantes de subida y de bajada del objeto para los cuales alcanza dicha altura. Puedes verlo trazando una recta horizontal correspondiente a la altura que desees y verás que corta a la parábola en dos puntos correspondientes a dos instantes de tiempo.

En el tercer punto te piden calcular la altura máxima que alcanza la pelota. Si has estudiado las derivadas de funciones te habrán dicho que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva evaluada para un punto de esta. Por tanto, si calculamos la primera derivada de la función, la igualamos a cero y calculamos sus raíces, podemos definir los puntos donde la gráfica tiene rectas tangentes horizontales que representan puntos de máximo o mínimo.

Si: H(t)=-2t²+20t

(dH(t)/dt)=-4t+20

Hacemos cero la primera derivada para encontrar los puntos de la función donde la tangente tiene pendiente nula.

(dH/dt)=0, -4t+20=0

t=5 segundos

Si evalúas en la primera derivada de la función ( la cual es una recta) un punto mayor muy cercanos a 5 y uno menor muy cercano a 5, te darás cuenta de que la función cambia de signo. Para puntos menores que 5, toma valor positivo y para puntos mayores que 5 toma valores negativos. Esto indica que la alternancia de signo es de positivo a negativo y qe por lo tanto el punto t=5 representa un valor máximo para la función.

Si sustituyes este valor (t=5) en la parábola tendrás un valor de altura de 50 metros.

Esta es la altura máxima que alcanza la pelota y lo hace a los 5 segundos.

Espero que hayas comprendido un poco mejor.

De otra manera más rápida, debes conocer que toda parábola tiene su vértice (el cual es su punto de máximo o mínimo, según corresponda al signo de a) en el punto de abscisa x=-b/2a, que luego sustituyéndolo en la ecuación obtendrás el valor de la ordenada f(x). Para nuestro caso, x=-20/(-4)=5

Te adjunto la gráfica de la parábola y su primera derivada que es una recta. Fíjate que la recta se hace cero en el valor de tiempo (5seg) para el cual la parábola tiene el punto máximo como habíamos calculado.

Saludos

En ocasiones mucho hablamos de derivadas y rectas tangentes a las funciones pero poco se dice sobre como y quienes lograron estos trascendentales descubrimientos. La primera persona en formular explícitamente las ideas de límites y derivadas fue sir Isaac Newton (1642-1727) en la década de 1660 y simultáneamente Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Pero Newton reconoció: “Si he visto más lejos que otros hombres, es porque he estado parado sobre los hombros de gigantes”. Dos de esos gigantes fueron Pierre Fermat (1601-1665) y el maestro de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677). Newton ya estaba familiarizado con los métodos que estos hombres habían aplicado para hallar rectas tangentes. Barrow, por su parte, fue el primero en comprender la relación inversa entre la derivación y la integración. Pero lo que Newton y Leibniz lograron fue usar esta relación, en la forma del teorema fundamental del cálculo, para convertir este último en una disciplina matemática sistemática. Ambos elaboraron procedimientos y simbolismos algebraicos que hicieron posible ofrecer un tratamiento unificado de los diversos métodos infinitesimales desarrollados anteriormente por sus predecesores mediante un método algorítmico simple y general. Pierre Fermat fue un
abogado francés que tomó las matemáticas como un pasatiempo y pesar de su condición de aficionado, Fermat fue uno de los dos inventores de la Geometría Analítica (Descartes fue el otro). Sus métodos para hallar rectas tangentes a las curvas y valores máximos y mínimos (antes del descubrimiento del límite y de las derivadas) lo hizo un precursor de Newton en la creación del Cálculo Diferencial.