FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Ing. Antonioo :,D

Te voy a poner dos ejemplos que desarrollé donde se aplican algunas de las reglas de derivación que te piden en varias variables. Espero que te sea útil.

Gracias Ing. Noel :,)

3)

Considera la función de dos variables diferenciable y con dominio R², cuya expresión es:

f(x;y) = x² + y,

cuya variable "x" es una función diferenciable con dominio R², y cuya variable "y" es una función con dominio R, y cuyas expresiones son:

x(u;v) = sen(u)*v (1),

y(u) = e^u (2),

a continuación planteas las expresiones de las derivadas parciales de la función "f" y de la función "x", planteas las expresión de la derivada de las función "y", y queda:

f_x(x;y) = 2*x + 0 = 2*x (2a),

f_y(x;y) = 0 + 1 = 1 (2b),

x_u(u;v) = cos(u)*v (3a),

x_v(u;v) = sen(u)*1 = sen(u) (3b),

y'(u) = e^u (4);

luego, planteas la expresión de la función compuesta;

F(u;v) = f( x(u;v) ; y(u;v) ),

y aquí observa que para plantear las expresiones de sus derivadas, aplicas Regla de la Cadena, y queda (observa que la función "y" depende sólamente de la variable "u"):

F_u(u;v) = f_x(x;y)*x_u(u;v) + f_y(x;y)*y'(u),

F_v(u;v) = f_x(x;y)*x_v(u;v),

aquí sustituyes las expresiones señaladas (2a) en ambas expresiones, sustituyes la expresión señalada (2b) en la segunda expresión, y queda:

F_u(u;v) = 2*x*x_u(u;v) + 1*y'(u) = 2*x*x_u(u;v) + y'(u) (5a),

F_v(u;v) = 2*x*x_v(u;v) (5b),

ahora sustituyes las expresiones señaladas (1) (3a) (4) en la expresión (5a), sustituyes las expresiones señaladas (1) (3b) en la expresión señalada (5b), y queda:

F_u(u;v) = 2*sen(u)*v*cos(u)*v + e^u = 2*sen(u)*cos(u)*v² + e^u,

F_v(u;v) = 2*sen(u)*v*sen(u) = 2*sen²(u)*v,

que son las expresiones de las derivadas parciales de la función compuesta.

Agregamos el diagrama de dependencia de variables en la figura.

Espero haberte ayudado. 

4)

Vamos con una orientación.

Considera la función de dos variables diferenciable y con dominio R², cuya expresión es:

f(x;y) = arctan(x² + y),

cuyaa variablea "x" w "y" son funciones diferenciables con dominio R², y cuyas expresiones son:

x(u;v) = sen(u)*v (1),

y(u) = e^u*v (2),

a continuación planteas las expresiones de las derivadas parciales de las funciones "f", "x" e "y", y queda:

f_x(x;y) = 2*x/([1 + (x² + y)²] (2a),

f_y(x;y) = 1/([1 + (x² + y)²] (2b),

x_u(u;v) = cos(u)*v (3a),

x_v(u;v) = sen(u)*1 = sen(u) (3b),

y_u(u;v) = e^u*v*v = v*e^u*v (4a),

y_v(u;v) = e^u*v*u = u*e^u*v (4b);

luego, planteas la expresión de la función compuesta;

F(u;v) = f( x(u;v) ; y(u;v) ),

y aquí observa que para plantear las expresiones de sus derivadas, aplicas Regla de la Cadena, y queda:

F_u(u;v) = f_x(x;y)*x_u(u;v) + f_y(x;y)*y_u(u;v),

F_v(u;v) = f_x(x;y)*x_v(u;v) + f_y(x;y)*y_v(u;v), 

y queda para ti sustituir las expresiones señaladas, hasta obtener la expresión de las derivadas parciales de la función compuesta, en forma similar a la que empleamos en el desarrollo correspondiente al ejercicio anterior.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Agregamos el diagrama de dependencia de variables en la figura.

Espero haberte ayudado.  

5)

Vamos con una orientación.

Considera la función de dos variables diferenciable y con dominio R², cuya expresión es:

f(x;y) = e^{x + 2y},

cuyaa variablea "x" w "y" son funciones diferenciables con dominio R², y cuyas expresiones son:

x(u;v) = sen(u)*v (1),

y(u) = e^u*v (2),

a continuación planteas las expresiones de las derivadas parciales de las funciones "f", "x" e "y", y queda:

f_x(x;y) = e^{x + 2y}*(1 + 0) = e^{x + 2y} (2a),

f_y(x;y) = e^{x + 2y}*2 = 2*e^{x + 2y} (2b),

x_u(u;v) = cos(u)*v (3a),

x_v(u;v) = sen(u)*1 = sen(u) (3b),

y_u(u;v) = e^u*v*v = v*e^u*v (4a),

y_v(u;v) = e^u*v*u = u*e^u*v (4b);

luego, planteas la expresión de la función compuesta;

F(u;v) = f( x(u;v) ; y(u;v) ),

y aquí observa que para plantear las expresiones de sus derivadas, aplicas Regla de la Cadena, y queda:

F_u(u;v) = f_x(x;y)*x_u(u;v) + f_y(x;y)*y_u(u;v),

F_v(u;v) = f_x(x;y)*x_v(u;v) + f_y(x;y)*y_v(u;v), 

y queda para ti sustituir las expresiones señaladas, hasta obtener la expresión de las derivadas parciales de la función compuesta, en forma similar a la que empleamos en el desarrollo correspondiente al ejercicio anterior.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Agregamos el diagrama de dependencia de variables en la figura.

Espero haberte ayudado.  

6)

Vamos con una orientación.

Considera la función de dos variables diferenciable y con dominio R², cuya expresión es:

f(x;y) = Ln(x + 2*y),

cuyaa variablea "x" w "y" son funciones diferenciables con dominio R², y cuyas expresiones son:

x(u;v) = sen(u)*v (1),

y(u) = e^u*v (2),

a continuación planteas las expresiones de las derivadas parciales de las funciones "f", "x" e "y", y queda:

f_x(x;y) = 1/(x + 2*y) (2a),

f_y(x;y) = 2/(x + 2*y) (2b),

x_u(u;v) = cos(u)*v (3a),

x_v(u;v) = sen(u)*1 = sen(u) (3b),

y_u(u;v) = e^u*v*v = v*e^u*v (4a),

y_v(u;v) = e^u*v*u = u*e^u*v (4b);

luego, planteas la expresión de la función compuesta;

F(u;v) = f( x(u;v) ; y(u;v) ),

y aquí observa que para plantear las expresiones de sus derivadas, aplicas Regla de la Cadena, y queda:

F_u(u;v) = f_x(x;y)*x_u(u;v) + f_y(x;y)*y_u(u;v),

F_v(u;v) = f_x(x;y)*x_v(u;v) + f_y(x;y)*y_v(u;v), 

y queda para ti sustituir las expresiones señaladas, hasta obtener la expresión de las derivadas parciales de la función compuesta, en forma similar a la que empleamos en el desarrollo correspondiente al ejercicio anterior.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Agregamos el diagrama de dependencia de variables en la figura.

Espero haberte ayudado.  

7)

Vamos con una orientación.

Considera la función de dos variables diferenciable y con dominio R², cuya expresión es:

f(x;y) = sen(x + 2*y),

cuyaa variablea "x" w "y" son funciones diferenciables con dominio R², y cuyas expresiones son:

x(u;v) = sen(u)*v (1),

y(u) = e^u*v*w (2),

a continuación planteas las expresiones de las derivadas parciales de las funciones "f", "x" e "y", y queda:

f_x(x;y) = cos(x + 2*y)*1 = cos(x + 2*y) (2a),

f_y(x;y) = cos(x + 2*y)*2 = 2*cos(x + 2*y) (2b),

x_u(u;v) = cos(u)*v (3a),

x_v(u;v) = sen(u)*1 = sen(u) (3b),

y_u(u;v;w) = e^u*v*w*1*v*w = v*w*e^u*v*w (4a),

y_v(u;v;w) = e^u*v*w*u*1*w = u*w*e^u*v*w (4b),

y_w(u;v;w) = e^u*v*w*u*v*1 = u*v*e^u*v*w (4c);

luego, planteas la expresión de la función compuesta;

F(u;v;w) = f( x(u;v) ; y(u;v;w) ),

y aquí observa que para plantear las expresiones de sus derivadas, aplicas Regla de la Cadena, y queda (oberva que la función "x" no dependen de la variable "w"):

F_u(u;v;w) = f_x(x;y)*x_u(u;v) + f_y(x;y)*y_u(u;v),

F_v(u;v;w) = f_x(x;y)*x_v(u;v) + f_y(x;y)*y_v(u;v), 

F_w(u;v;w) = f_y(x;y)*y_w(u;v;w),

y queda para ti sustituir las expresiones señaladas, hasta obtener la expresión de las derivadas parciales de la función compuesta, en forma similar a la que empleamos en el desarrollo correspondiente al ejercicio anterior.

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Agregamos el diagrama de dependencia de variables en la figura.

Espero haberte ayudado.  

Observa que los desarrollos indicados podrían tener el enunciado en común: "Plantear las expresiones de las derivadas parciales de las funciones compuestas, que se indican en cada caso".

AAyuda