FUNCIONES EXPONENCIALES

Recuerda que el dominio de todas las funciones exponenciales es el conjunto de los números reales: D = R, y que las funciones exponenciales son continuas y derivables en todo su dominio, y que sus gráficas no presentan asíntotas verticales, y sí presentan una asíntota horizontal.

1)

f(x) = (1/2)^x;

planteas la condición de corte con el eje OX: f(x) = 0, sustituyes la expresión de la función, y queda: (1/2)^x = 0, que es una ecuación exponencial que no tienes solución (recuerda que las expresiones exponenciales toman valores estrictamente positivos), por lo que tienes que la gráfica de la función no corta al eje OX;

luego, evalúas la expresión de la función para la abscisa del origen de coordenadas, y queda: f(0) = (1/2)⁰ = 1, por lo que tienes que la gráfica de la función corta al eje OY en el punto: B(0;1);

luego, planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

f'(x) = (1/2)^x*Ln(1/2) = (1/2)^x*[-Ln(2)] = -(1/2)^x*Ln(2),

que es una expresión que toma valores estrictamente negativos en todo el dominio de la función, por lo que tienes que la gráfica de la función es decreciente en todo su dominio, por lo que la graáfica de la función no presenta mínimos ni máximos;

a continuación, considera los límites:

Lím(x→-∞) f(x) = Lím(x→-∞) (1/2)^x = +∞,

por lo que tienes que la gráfica de la función no presenta asíntota horizontal izquierda,

Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) (1/2)^x = 0, 

por lo que tienes que la gráfica de la función sí presenta asíntota horizontal derecha, cuya ecuación es: y = 0.

2)

f(x) = 2^x+1 = 2^x*2 = 2*2^x;

planteas la condición de corte con el eje OX: f(x) = 0, sustituyes la expresión de la función, y queda: 2*2^x = 0, divides por 2 en ambos miembros, y queda: 2^x = 0, que es una ecuación exponencial que no tienes solución (recuerda que las expresiones exponenciales toman valores estrictamente positivos), por lo que tienes que la gráfica de la función no corta al eje OX;

luego, evalúas la expresión de la función para la abscisa del origen de coordenadas, y queda: f(0) = 2*2⁰ = 2*1 = 2, por lo que tienes que la gráfica de la función corta al eje OY en el punto: B(0;2);

luego, planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

f'(x) = 2*2^x*Ln(2),

que es una expresión que toma valores estrictamente positivos en todo el dominio de la función, por lo que tienes que la gráfica de la función es creciente en todo su dominio, por lo que la graáfica de la función no presenta mínimos ni máximos;

a continuación, considera los límites:

Lím(x→-∞) f(x) = Lím(x→-∞) 2*2^x = 2*Lím(x→-∞) 2^x = 0,

por lo que tienes que la gráfica de la función sí presenta asíntota horizontal izquierda, cuya ecuación es y = 0,

Lím(x→+∞) f(x) = Lím(x→+∞) 2*2^x = 2*Lím(x→+∞) 2^x = +∞,

por lo que tienes que la gráfica de la función no presenta asíntota horizontal derecha. 

Espero haberte ayudado.