geometria analitica

Observa la figura, en la que te mostramos que la altura del triángulo equilátero: AM es perpendicular al lado BC.

Luego, planteas la expresión de la pendiente de la recta que contiene a la altura AM, y queda:

m_h = (y_M - y_A)/(x_M - x_A) = (2 - 8)/(1 - [-7]) = -6/8 = -3/4,

a continuación observa que la recta que contiene a los vérices B y C y al punto M es perpendicuar a la altura AM, por lo que su pendiente queda expresada:

m_BC = -1/m_h = -1/(-3/4) = 4/3,

a continuación con esta pendiente y las coordenadas del punto M, planteas la ecuación "punto-pendiente" de la recta que contiene al lado BC, y queda:

y = m_BC*(x - x_M) + y_M, reemplazas valores, y queda:

y = (4/3)*(x - 1) + 2, distribuyes, reduces términos semejantes, y queda:

y = (4/3)*x + 2/3, que es la ecuación cartesiana explícita de la recta a la que pertenecen los vértices B y C, y también el punto M.

Luego, planteas la expresión de la altura del triángulo equilátero (observa que que es igual a la longitud del segemno AM), y queda:

h = √([x_M - x_A]² + [y_M - y_A]²) = √([1 - (-7)]² + [2 - 8]2) = √(82 + [-6]2) = √(64 + 36) = √(100) = 10, 

a continuación observa que las longitudes de los segmentos AM y MB son iguales, por lo que, a partir del triángulo rectángulo sombreado con amarillo, puedes plantear la ecuación:

tan(60°) = h/|AM|, y de aquí despejas:

|AM| = h/tan(60°), aquí reemplazas valores, resuelves, y queda:

|AM| = 10/√(3), 

que es la longitud de la mitad de la base del triángulo rectángulo, por lo que tienes que la longitud de su base queda expresada:

b = |AB| = 2*|AM| = 2*10/√(3),

a continuación planteas la expresión del área del triángulo equilátero en función de su base y de su altura, y queda:

Área = b*h/2, aquí reemplazas valores, y queda:

Área = [2*10/√(3)]*10/2, simplificas, resuelves, y queda:

Área = 100/√(3) ≅ 57,735.

Espero haberte ayudado.