Lautaro Vargas
Estaba ayudando a mi madre con sus estudios y aparecio un problema que no supe resolver para mostrarle. Me serviria de mucho si alguien me ayudara.
Determinar la fórmula de una función cuadrática que toma su máximo valor en 16 para x=-5 y una de sus raíces es x=-1.
Observa que tienes tres datos:
1°)
La función es cuadrática, por lo que puedes plantear que su expresión general es:
f(x) = a*x2 + b*x + c (1),
cuuya derivada tiene la expresión general:
f'(x) = 2a*x + b (1a),
y los coeficientes de ambas expresiones (a, b, c) son números reales a determinar.
2°)
Una de las raíces de la función es x = -1, por lo que puedes plantear la igualdad:
f(-1) = 0,
aquí susituyes la expresión de la función señalada (1) evaluada en el primer miembro, y queda la ecuación:
a - b + c = 0 (2).
3)
El máximo valor de la función es 16, y lo toma para x = -5, por lo que puedes plantrear las igualdades:
f(-5) = 16,
f ' (-5) = 0,
aquí sustituyes la expresión de la función señalada (1) en la primera igualdad, sustituyes la expresión de la función derivada evaluada señalada (1a) en la segunda igualdad, y quedan las ecuaciones:
25a - 5b + c = 16 (3),
-10a + b = 0 (3a).
Luego, resuelves el sistema conformado por las ecuaciones señalada (2) (3) (3a) (te dejamos la tarea a ti), y su solución es:
a = -1, b = -10, c = -9,
a continuación reemplazas estos valores en la expresión de la función señalada (1), y en la expresión de la función derivada señalada (1a), resuelves coeficientes, y las expresiones de dichas funciones quedan:
f(x) = -x2 - 10*x - 9,
f ' (x) = -2*x - 10.
Espero haberte ayudado.