Integración por partes

Vamos con una orientación.

Eliges la función para diferenciar en el planteo:

u = arcsen(a/x), cuyo diferencial queda expresado:

du = [ 1/(1+[a/x]²) ]*(-a/x²)*dx = [ 1/(1+[a²/x²]) ]*(-a/x²)*dx = [ 1/([x²+a²]/x²) ]*(-a/x²)*dx = [ x²/(x²+a²) ]*(-a/x²)*dx = -[ a/(x²+a²) ]*dx.

Eliges el diferencial de la función para integrar en el planteo:

dv = x*dx, integras, y queda:

v = (1/2)*x².

Luego, aplicas el Método de Integración por Partes, y la integral de tu enunciado queda:

I = arcsen(a/x)*(1/2)*x² - ∫ (1/2)*x²*(-[ a/(x²+a²) ]*dx) = (1/2)*x²*arcsen(a/x) + (1/2)*a * ∫ [x²/(x²+a²)]*dx;

luego, sumas y restas a2 en el numerador del arguemento de la integral secundaaria, asocias sus dos primeros términos, distribuyes el denominador, y queda:

I = (1/2)*x²*arcsen(a/x) + (1/2)*a * ∫ [ 1 - a²/(x²+a²) ]*dx,

y queda que separes en términos en la integral secundaria y resuelvas (observa que te quedará una integral directa en el primer término, y en la segunda podrás aplicar la sustitución, o cambio de variable: x = a*tanθ).

Haz el intento de terminar la tarea, y si te resulta necesario no dudes en volver a consultar.

Espero haberte ayudado.