Integrales

Vamos con una orientación.

Observa la figura, en la que te mostramos el recinto de integración D coloreada en amarillo, y te mostramos el recinto transformado E, de acuerdo con el cambio de coordenadas:

x - y = u (1), de aquí tienes: x = (1/2)*u + (1/2)*v,

x + y = v (2), de aquí tienes: y = -(1/2)*u + (1/2)*v,

con el factor de compensación (Jacobiano): |J| = 1/2.

Luego, tienes la expresión en el argumento de la integral de tu enunciado:

f(x;y) = √(x² - y²) = √([x - y]*[x + y]),

aquí sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) en el argumento de la raíz cuadrada, y queda:

f(u;v) = √(u*v) = √(u)*√(v) = u^1/2*v^1/2,

que es la expresión correspondiente con las nuevas coordenadas.

Luego, tienes la integral de tu enunciado:

∫∫_D √(x² - y²) *dx*dy = 

aquí aplicas el cambio de coordenadas (¡recuerda el factor de compensación!), introduces los límites de integración (aquí observa la figura coloreada con verde), y queda:

= ₀∫² ₀∫^{(2 - u)} u^1/2*v^1/2 * (1/2) * dv*du =

y queda para ti resolver esta integral doble.

Espero haberte ayudado.