Juan martinez
Hola! Alguien me podría ayudar a encontrar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexion, saqué la primera derivada y la segunda, pero no se si esta bien la segunda derivada y Nose cómo seguir cuando hay que igualar la segunda derivada a cero y cuando la Segunda derivada no existe pero sé que los intervalos son (-3,0) y (0,3) y que el punto de inflexión es (0,0)
lo que no se es el procedimiento, me podrían ayudar porfavor
Observa que el dominio de la función que tienes en estudio es el intervalo cerrado: D = [ -3 ; 3 ].
Has planteado correctamente la expresión de la función derivad primera, y te ha quedado:
f'(x) = (9 - 2x2)/√(9 - x2) = (9 - 2x2)*(9 - x2)-1/2,
a continuación derivas en esta útima exprsión, observa que debes aplicar la Regla de la Multiplicación de Funciones, y la Regla de la Cadena, y queda:
f''(x) = -4x*(9 - x2)-1/2 + (9 - 2x2)*(9 - x2)-3/2*x,
aquí aplicas la propiedad de las potencias con exponentes negativos, y queda:
f''(x) = -4x/(9 - x2)1/2 + (9 - 2x2)*x/(9 - x2)3/2,
a continuación extraes denominador común, y queda:
f''(x) = [-4x*(9 - x2) + (9 - 2x2)*x]/(9 - x2)3/2,
ahora extraes factor común en el numerador, y queda:
f''(x) = x*[-4*(9 - x2) + 9 - 2x2)]/(9 - x2)3/2,
resuelves la expresión que tienes en el agrupamiento en el numerador, y queda:
f''(x) = x*[2x2 - 27]/(9 - x2)3/2.
Luego, queda para ti mostrar que el único valor que pertenece al dominio de la función, y que anula la expresión de la función derivada segunda es:
x = 0, y que para dicho valor tienes que la gráfica de la función presenta inflexión.
Te mostramos en la figura la gráfica de la función que tienes en estudio.
Espero haberte ayudado.