Hola a todos. Me he quedado pegado con el siguiente ejercicio (Adjunto foto). Según la hoja de respuesta es I,II y III. Logré encontrar el por qué la I y II son correctas, pero no logro entender el por qué la III está bien. Ojala me puedan explicar paso a paso como hacer la demostración, para ver despues en que me equivoqué. Gracias de antemano. Saludos
Desarrollandolo...
Vamos con una orientación.
Designamos: z1 = p y z2 = q para mayor simplicidad.
Planteas la expresión del cuadrado de la expresión que tienes en el primer miembro en la ecuación señalada (III), en función de dicha expresión y de su expresión conjugada, y queda:
|p + q|2 = (p + q)*(p + q)c,
aquí aplicas la propiedad del conjugado de una suma de números complejos: (z + w)c = zc + wc en el último factor, y queda:
|p + q|2 = (p + q)*(pc + qc),
ahora desarrollas la expresión en el segundo miembro, y queda:
|p + q|2 = p*pc + p*qc + pc*q + q*qc,
aquí aplicas la propiedad del cuadrad del módulo de un número complejo: z*zc = |z|2 en el primero y en el último término en el segundo miembro, y queda:
|p + q|2 = |p|2 + p*qc + pc*q + |q|2,
aquí expresas al tercer término en el segundo miembro en función de su conjugado (recuerda las propiedades: z = (zc)c y (z*w)c = zc*wc), y queda:
|p + q|2 = |p|2 + p*qc + (p*qc)c + |q|2,
aquí aplicas la propiedad de la parte real de un número complejo: z + zc = 2*Re(z) con el segundo y el tercer término en el seguno miembro, y queda:
|p + q|2 = |p|2 + 2*Re(p*qc) + |q|2,
aquí aplicas la propiedad de la parte real de un número complejo con respecto a su módulo: Re(z) ≤ |z|, y queda:
|p + q|2 ≤ |p|2 + 2*|p*qc| + |q|2,
aquí resuelves la expresión en el segundo término en el segundo miembro (recuerda las propiedades: |z*w| = |z|*|w| y |zc| = |z|), y queda:
|p + q|2 ≤ |p|2 + 2*|p|*|q| + |q|2,
ahora factorizas la expresión en el segundo miembro, y queda:
|p + q|2 ≤ (|p| + |q|)2,
a continuación extraes raíz cuadrada en ambos miembros (observa que tienes expresiones positivas en las bases de las potencias), y queda:
|p + q| ≤ |p| + |q|.
Espero haberte ayudado.