Optimización

Qué ilusión la pregunta número 1000!!!!!! jeje

a) 

Observa que la expresión de tu enunciado corresponde a una función continua, cuyo dominio es el intervalo: D = [ 0 ; +∞); luego, planteas la expresión de la función derivada primera, y queda:

C'(t) = 1*e^-t/2 + t*(-1/2)*e^-t/2 = 1*e^-t/2 - (1/2)*t*e^-t/2 = (1/2)*e^-t/2*(2 - t);

luego, planteas la condición de valor estacionario (posible mínimo o posible máximo), y queda:

C'(t) = 0, sustituyes la expresión factorizada de la función derivada primera, y queda:

(1/2)*e^-t/2*(2 - t) = 0, 

multiplicas por 2 y divides por e^-t/2 (observa que esta expresión es estrictamente mayor que 0) en ambos miembros, y queda:

2 - t = 0, y de aquí despejas:

t = 2;

luego, evalúas la expresión de la función para este valor estacionario, para un valor menor que él y para un valor mayor que él, y queda:

C(1) = 1*e^-1/2 ≅ 0,607,

C(2) = 2*e^-1 ≅ 0,736,

C(3) = 3*e^-3/2 ≅ 0,669,

y como tienes que el valor de la función en el valor estacionario es el mayor, puedes concluir que este corresponde a un Máximo de la función;

luego, evalúas la expresión para el extremo izquierdo de su dominio: t = 0, y queda:

C(0) = 0;

luego, evalúas la expresión para valores del tiempo mucho mayores que cero, y queda:

Lím(t→+∞) C(t) = Lím(t→+∞) t*e^-t/2 = Lím(t→+∞) t/e^t/2 = aplicas la Regla de L'Hôpital = Lím(t→+∞) 2/e^t/2 = 0,

por lo que tienes que le mínimo de la función corresponde al valor inicial: t = 0.

b)

Observa que tienes demostrado que la función alcanza su Máximo valor en el instante: t = 2, y que el valor máximo de la función es aproximadamente 0,736, por lo que tienes que no se alcanza la concentración crítica al administrar el medicamento al paciente, por lo que puedes concluir que éste no corre peligro en ningún instante.

Espero haberte ayudado.