plano complejo

Aqui te va Guillermo

a)

Vamos con un planteo alternativo.

Recuerda la definición de Elipse: "conjunto de puntos del plano tales que sus distancias a dos puntos fijos (focos) es igual a una constante (2a)"; luego, tienes la inecuación compleja:

|z + 3i| + |z - 3i| < 10, 

ahora expresas al argumento que tienes en el primer término como una resta, expresas a 10 como el doble de 5 en el segundo miembro, y queda:

|z - (-3i)| + |z - 3i| < 2*5 (1), 

que es una inecuación cuya respresentación gráfica es una región incluida en el plano complejo, cuyo borde que no está incluido en la misma, y que es una curva cuya ecuación es:

|z - (-3i)| + |z - 3i| = 2*5,  

y aquí observa:

- que en el primer término tienes la expresión de la distancia de un punto de la curva al punto: F₁ = -3i ≡ (0;-3),

- que en el segundo término tienes la expresión de la distancia de un punto de la curva al punto: F₂ = 3i ≡ (0;-3), 

y aquí observa que los puntos F₁ y F₂ son los focos de una elipse, y que su punto medio es. C = 0 ≡ (0;0),

- que la constante que tienes presente en el segundo miembro te indica que la longitud del semieje mayor es a = 5,

- que la longitud del semieje focal tiene la expresión: c = |F₂ - O| = |3i - 0| = |3i| = 3,

- que la longitud del semieje menor es: b = √(a² - c²) = √(5² - 3²) = √(16) = 4,

luego, planteas la ecuación cartesiana canónica de una elipse con centro C ≡ (0;0) y eje mayor paraleleo al eje OY, que es borde de la región en estudio, y queda:

x²/16 + y²/25 = 1,

a continuación observa que el número complejo nulo C = 0 ≡ (0;0) verifica la inecuación señalada (1) que tienes en estudio, por lo que tienes que este punto pertenece a la región y, como es un punto interior a la misma, entonces puedes concluir que la representación gráfica del conjunto de puntos es un disco elíptico abierto con centro C(0;0) y eje mayor sobre el eje OY, que queda descrito por la inecuación cartesiana:

x²/16 + y²/25 < 1, 

cuya representación gráfica te mostramos en la figura adjunta.

b) c)

Observa la inecuación que tienes en el ejercicio (b), y tienes:

- a la distancia entre un punto genérico z y el punto fijo 4 en su prmer miembro,

- a la distancia entre un punto genérico z y el punto fijo 0 en su segundo miembro;

luego, elevas al cuadrado en ambos miembros en esta inecuación (observa que tienes expresiones positivas en ambos miembros), y queda:

|z - 4|² ≥ |z|²,

aquí sustituyes las expresiones del número complejo genérico, resuelves la expresión en el argumento en el primer miembro, y queda:

|(x - 4) + yi|² ≥ |x + yi|²,

ahora resuelves las expresiones de los módulos en ambos miembros, simplficas raíces y potencias, y queda la inecuación cartesiana:

(x - 4)² + y² ≥ x² + y²,

aquí restas y² en ambos miembros, desarrolla el binomio elevado al cuadrado, y queda:

x² - 8x + 16 ≥ x²,

ahora restas x² en ambos miembros, y queda:

-8x + 16 ≥ 0,

aquí restas 16 en ambos miembros, a continuación divides por -8 en ambos miembros (observa que cambia la desigualdad), y queda:

x ≤ 2,

que es la inecuación cartesiana que te indica el colega Cesár en su desarrollo, cuya representación gráfica es una región semiplana, cuyo borde es la recta cuya ecuación es: x = 2, y observa que esta recta está incluida en la región, como te mostramos en la figura adjunta.

Espero haberte ayudado.

Muchisimas gracias