Polinomios

Lo veo del modo siguiente 

Observa que tienes información acerca de las raíces de un polinomio cuyos coeficientes son números reales, por lo que tienes además que por cada raíz compleja tienes que su conjugada también es raíz del polinomio en estudio, y con su misma multiplicidad.

Luego, tienes los datos:

a = 1 + √(3)i es raíz con múltiplicidad 3, por lo que a_c = 1 - √(3)i también es raíz con múltiplicidad 3,

b = √(5) es raíz con multiplicidad 3,

P(1 + 3i) = 0,

y observa que de aquí tienes (recuerda que debes construir la expresión de un polinomio cuyo grado es mínimo):

d = 1 + 3i es raíz con multiplicidad 1, por lo que d_c = 1 - 3i también es raíz con multiplicidad 1;

luego, planteas la expresión general del polinomio con grado mínimo que tiene como raíces a todas las que hemos indicado con sus multiplicidades correspondientes, y queda (observa que indicamos con "A" a su coeficiente principal):

P(x) = A*( x - [1 + √(3)i] )³ * ( x - [1 - √(3)i] )³ * ( x - √(5) )³ * ( x - [1 + 3i] )¹ * ( x - [1 - 3i] )¹,

y a continuación tienes que el grado de este polinomio es igual a la suma de las multiplicidades de sus factores elementales, por lo que tienes que el grado de este polinomio es:

grado(P) = 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 11,

y puedes concluir que la cuarta opción es la correcta.

Espero haberte ayudado.