Polinomios

A mi me sale esto quizas metí la pata 

El polinomio p(x) que seleccionaste no es acordé al enunciado. Es acordé a una de las opciones del cuestionario, por eso no 

Vamos con una orientación, por medio de un desarrollo por etapas.

1°)

Planteas la condición de raíz del polinomio "P", y queda la ecuación:

P(x) = 0, aquí sustituyes la expresión del polinomio "P" en el primer miembro, y queda:

x⁴ - 5x² - 36 = 0, que es una ecuación "bicuadrática", cuyas soluciones son:

x₁ = 3, x₂ = -3, x₃ = 2i, x₄ = -2i,

y aquí observa que el polinomio "mónico" correspondiente a las dos raíces reales del polinomio "P" queda expresado:

C(x) = (x - 3)*(x - [-3]) = x² - 9 (1).

2°)

Evalúas la expresión del polinomio "Q" para x₃ = 2i, y queda la igualdad:

Q(2i) = 0, 

aquí reemplazas la expresión del polinomio "Q" evaluada en el primer miembro (te dejamos los cálculos a ti), y queda:

16 - 40i = 0, 

que es una igualdad Falsa, por lo que tienes que x₃ = 2i no es raíz del polinomio "Q".

Evalúas la expresión del polinomio "Q" para x₄ = -2i, y queda la igualdad: 

Q(-2i) = 0, 

aquí reemplazas la expresión del polinomio "Q" evaluada en el primer miembro (te dejamos los cálculos a ti), y queda: 

0 = 0,

que es una igualdad Verdadera, por lo que tienes que x₄ = -2i sí es raíz del polinomio "Q". 

3°)

A continuación divides al polinomio "Q" por el binomio elemental correspondiente a la raíz x₄ = -2i (observa que puedes aplicar la Regla de Ruffini, y que te dejamos los cálculos a ti), y el la expresión del cociente queda:

D(x) = x² - 2x - 6 (2),

cuyas raíces son: x₅ = 1 + √(7), x₆ = 1 + √(7).

4°)

A continuación, planteas la expresión general del polinomio "R", con grado mínimo, cuyas raíces son las raíces reales de los polinomios "P" y "Q", y queda (observa que indicamos con "A" a su coeficiente principal9:

R(x) = A*C(x)*D(x),

a continuación sustituyes las expresiones de los polinomios con raíces reales señaladas (1) (2), y queda:

R(x) = A*(x² - 9)*(x² - 2x - 6) (3);

luego, tienes la condición para este polinomio en tu enunciado:

R(0) = 216,

aquí sustituyes la expresión del polinomio "R" evaluada en el primer miembro, y queda:

54*A = 216, y de aquí despejas:

A = 4,

a continuación reemplazas este último valor en el primer factor de la expresión del polinomio "R" señalada (3), y queda:

R(x) = 4*(x² - 9)*(x² - 2x - 6),

aquí distribuyes (te dejamos a ti el desarrollo correspondiente), y queda:

R(x) = 4x⁴ - 8x³ - 60x² + 72x + 216,

por lo que puedes concluir que la segunda opción es la correcta.

Espero haberte ayudado.