1) encuentre los vectores A⃗ , B⃗ y C⃗ . Dado el siguiente sistema de ecuaciones
2A⃗ − 3B⃗ + 4C⃗ = (5, −2,1)
A⃗ + B⃗ − C⃗ = (3,0,2)
A⃗ − B⃗ + C⃗ = (5,2, −3)
2) hallar los cosenos directores de un vector situado en el plano coordenado xy, cuya dirección es la bisectriz del cuarto cuadrante.
3) determine las coordenadas de un vector de módulo 2 unidades, que tiene ángulos directores α= 180° y β= 60°
Va el primero
el segundo
3)
Por favor, verifica el enunciado en este problema, o consulta con tus docentes al respecto.
Recuerda que la suma de los cuadrados de los cosenos de los ángulos directores es igual a uno.
Luego, vamos a los dos planteos posibles, en el plano OXY, o en el espacio OXYZ.
a)
En el plano OXY: planteas la suma de los cuadrados de los cosenos de los ángulos directores, y queda:
cos²α + cos²β = cos²(180°) + cos²(60°) = (-1)² + (1/2)² = 1 + 1/4 = 5/4 ≠ 1.
b)
En el espacio OXYZ: planteas la ecuación correspondiente a los cosenos de los ángulos directores, y queda:
cos²α + cos²β + cos²γ = 1,
aquí reemplazas los valores angulares en los dos primeros términos, y queda:
cos²(180°) + cos²(60°) + cos²γ = 1,
ahora resuelves expresiones trigonométricas, y queda:
(-1)² + (1/2)² + cos²γ = 1,
aquí resuelves los dos primeros términos, y queda:
1 + 1/4 + cos²γ = 1,
ahora restas 1 y restas 1/4 en ambos miembros, y queda:
cos²γ = -1/4,
que es una ecuación trigonométrica que no tiene solución en los numeros reales.
Luego, puedes concluir que no existe un vector que tenga los ángulos directores que se indican en tu enunciado, tanto en el plano OXY como en el espacio OXYZ.
Espero haberte ayudado.
Analicemos con detenimiento los problemas.
1.-
Se trata de un sistema de ecuaciones matriciales lineal. Podemos operar por eliminación sumando la segunda ecuación a la tercera (operación totalmente válida ya que es suma lineal de vectores), obteniendo el primer vector: A = [4 1 -1/2]. Ahora podemos escoger las dos primeras ecuaciones y, sustituyendo el vector A y operando, nos queda un sistema de dos ecuaciones matriciales: -3B + 4C = [-3 -4 2]; B - C = [-1 -1 5/2]. De nuevo, por eliminación sumamos la primera ecuación y cuatro veces la segunda, de forma que podemos despejar B: B = [-7 -8 12]. Despejamos C por sustitución: C = [-6 -7 19/2].
2.-
Un vector situado en el plano xy directamente formará 90º en todo momento con respecto al eje Z, es decir, será perpendicular a este. La bisectriz del cuarto cuadrante (si te refieres a un cuadrante imaginario en el plano xy, ya que como habíamos dicho, en todo momento el vector se hallará en el plano xy) formará un ángulo de 180+45º respecto al eje Y y de -45º respecto a X. Por tanto, los cosenos directores que definen la posición del vector en el espacio serían: (cosα,cosβ,cosγ) = (cos(-45),cos(180+45),cos(90))=(1/√2,-1/√2,0).
3.-
Un vector de módulo 2 y de dirección (cos(180),cos(60))=(-1,1/2). Mantenemos la dirección sin alterar el módulo, volviendo el vector unitario u=2/√5*(-1,1/2). Entonces, el vector resultante es: 2*u=4/√5*(-1,1/2)