Daniel
Hola, me podrían explicar la resolución de este ejercicio?
La duración de un cierto modelo de batería tiene una distribución exponencial. Se sabe que la media es de 5000 horas. El fabricante de las baterías debe informar cual es la duración de esas baterías. ¿Qué duración debe informar si quiere que la probabilidad de que una batería concreta viva más que esa duración informada sea del 90%?
Recuerda la expresión general de la función de densidad de probabilidad exponencial:
f(t) = λ*e-λ*t (1), con: t ≥ 0,
cuya media tiene la expresión:
μ = 1/λ, de aquí despejas: λ = 1/μ = 1/5000,
a continuación reemplazas este valor en la expresión de la función señalada (1), y queda:
f(t) = (1/5000)*e-(1/5000)*t (1), con: t ≥ 0;
luego, puedes designar con "T" a la duración de las baterías que se debe informar, tienes el valor de la probabilidad en estudio, y puedes plantear la ecuación:
p(t > T) = 0,90,
a continuación expresas a la probabilidad en función de su probabilidad complementaria, y queda:
1 - p(t ≤ T) = 0,90,
y de aquí despejas:
p(t ≤ T) = 0,10
aquí sustituyes la expresión de la probabilidad en estudio en el primer miembro, y queda:
0∫T f(t)*dt = 0,10,
ahora sustituyes la expresión de la función de densidad de probabilidad, y queda:
0∫T (1/5000)*e-(1/5000)*t*dt = 0,10,
a continuación integras (indicamos con corchetes que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:
[ -e-(1/5000)*t ] = 0,10,
aquí evalúas, y queda:
- e-(1/5000)*T + 1 = 0,10,
ahora restas 1 en ambos miembros, a continuación multiplicas por -1 en ambos miembros, y queda_
e-(1/5000)*T = 0,90,
aquí compones en ambos miembros con la función logarítmica natural, y queda:
-(1/5000)*T = Ln(0,90),
y de aquí despejas:
T = -5000*Ln(0,90) h ≅ 526,803 h.
Espero haberte ayudado.