Alejandra Martinez
Hola, estoy teniendo problemas para discutir sistemas en función de parámetros como en el siguiente problema. Algún docente o alumno que pueda ayudarme? Muchas gracias.
Vamos con un desarrollo por pasos.
1°)
Observa que tratas con un sistema "cuadrado" con tres ecuaciones y tres incógnitas, por lo que puedes plantear el determinante de su matriz, con los coeficientes que multiplican a las incógnitas, que ya tienes ordenadas alfabéticamente, y queda:
D =
-1 ......... 1 ............ 1
.2 ......... m .......... -1
(m-1) .. 3 ............ -1,
a continuación desarrollas este determinante según su primera fila, y queda:
D =
= -1*(-m + 3) - 1*(-2 + m - 1) + 1*(6 - m*(m - 1)) =
= -1*(-m + 3) - 1*(m - 3) + 1*(6 - m² + m) =
= m - 3 - m + 3 + 6 - m² + m =
= -m² + m + 6 =
= -1*(m² - m - 6),
por lo que la expresión del determinante de este sistema queda expresada:
D = -1*(m² - m - 6) (1).
2°)
A continuación investigas los casos en los que este sistema no es compatible determinado, por lo que igualas la expresión señalada (1) a cero, y queda la ecuación:
-1*(m² - m - 6) = 0,
aquí divides por -1 en ambos miembros, y queda:
m² - m - 6 = 0,
que es una ecuación polilnómica cuadrática, por lo que aplicas Fórmula de Baskara (o Fórmula Resolvente), y tienes que sus soluciones son:
a)
m = -2,
b)
m = 3,
y ya puedes asegurar que el sistema es compatible determinado, para todo valor real del parámetro "m" que sea distinto de -2 y distinto de 3.
3°)
Reemplazas el primer valor remarcado en tu sistema de ecuaciones, resuelves coeficientes, y la expresión de su matriz ampliada, queda:
-1 .......... 1 .......... 1 ................ -2
.2 ......... -2 ......... -1 ................ -6
-3 .......... 3 ......... -1 ................ 4,
aqui multiplicas a la fila 1 por -1, y queda:
.1 ......... -1 ......... -1 ................. 2
.2 ......... -2 ......... -1 ................ -6
-3 .......... 3 ......... -1 ................ 4,
a continuación vamos con operaciones elementales por filas, por lo que a la fila 2 le restas el doble de la fila 1, a la fila 3 le sumas el triple de la fila 1, y queda la matriz ampliada equivalente:
1 .......... -1 ......... -1 ................. 2
0 ........... 0 .......... 1 .............. -10
0 ........... 0 ......... -4 ............... 10,
ahora a la fila 3 le sumas el cuádruple de la fila 2, y queda:
1 .......... -1 ......... -1 ................. 2
0 ........... 0 .......... 1 .............. -10
0 ........... 0 .......... 0 .............. -30,
y ya puedes apreciar que la matriz equivalente escalonada del sistema presenta dos filas que no son nulas, por lo que su rango (o característica) es igual a 2, mientras que la matriz ampliada escalonada equivalente del sistema presenta tres filas no nulas, por lo que su rango es igual a 3; luego, aplicas Teorema de Rouché-Frobenius y puedes asegurar que el sistema es incompatible para m = -2.
4°)
Reemplazas el primer valor remarcado en tu sistema de ecuaciones, resuelves coeficientes, y la expresión de su matriz ampliada, queda:
-1 .......... 1 .......... 1 ................ 3
.2 ......... 3 ......... -1 ................ 9
.2 ......... 3 ......... -1 ................ 9 ,
aqui multiplicas a la fila 1 por -1, y queda:
1 ......... -1 ......... -1 ................. 2
2 ......... 3 .......... -1 ................. 9
2 ......... 3 .......... -1 ..{.............. 9,
a continuación vamos con operaciones elementales por filas, por lo que a la fila 3 le restas la fila 2, y queda la matriz ampliada equivalente:
1 ......... -1 ......... -1 ................. 2
2 ......... 3 .......... -1 ................. 9
0 ......... 0 ........... 0 ................. 0,
a continuación a la fila 2 le restas el doble de la fila 1, y queda la matriz ampliada equivalente:
1 .......... -1 ......... -1 ................. 2
0 .......... 5 ........... 1 ................. 5
0 .......... 0 ........... 0 ................. 0,
y ya puedes apreciar que la matriz equivalente escalonada del sistema presenta dos filas que no son nulas, por lo que su rango (o característica) es igual a 2, y que la matriz ampliada escalonada equivalente del sistema presenta dos filas no nulas, por lo que su rango es igual a 2; luego, aplicas Teorema de Rouché-Frobenius y puedes asegurar que el sistema es compatible indeterminado para m = 3.
5°)
Planteas el sistema escalonado equivalente para m = 3, y queda:
x - y - z = 2,
5y + z = 5, y de aquí despejas: z = 5 - 5y (*),
0 = 0 (observa que aquí tienes una igualdad Verdadera),
a continuación sustituyes la expresión señalada (*) en el tercer término en la primera ecuación, y queda:
x - y - (5 - 5y) = 2,
ahora distribuyes en el tercer término, reduces términos semejantes, y queda:
x + 4y - 5 = 2,
y de aquí despejas: x = 7 - 4y (**);
luego, con las ecuaciones señaladas (*) (**), planteas la expresión general de las infinitas soluciones de este sistema compatible indeterminado, y queda:
x = 7 - 4y,
y ∈ R,
z = 5 - 5y.
Espero haberte ayudado.
Hi, I understand your difficulty with systems involving parameters, as they can be quite challenging at first. I recommend going step by step and carefully analyzing how the parameters affect each equation. Practicing similar problems can really help build confidence and understanding. It can also be useful to look at alternative explanations or tutorials to see the concept from a different angle. If you're still stuck, try identifying the exact step where you get confused so others can guide you more effectively. Don’t worry—these topics become much clearer with consistent practice and patience.
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