Max
Hola a todos. Estaba realizando una guía de ejercicios y me quedé pegado con el siguiente:
Si x = 2, entonces la suma de los ciento un términos de la forma (-1)n + 1 · nx es:
Estuve harto rato pensando, pero al final me rendi porque no supe que hacer sin saber el valor de n. Ojala me puedan explicar paso a paso como resolverlo. Gracias de antemano.
Nota: Según la hoja de respuestas es 102, pero ni sabiendo eso pude deducir como resolver el ejercicio.
a mi me da 102
Es calcular la suma de esta serie con 101 términos porque, como puedes ver, la serie hasta n→∞ es divergente, es una serie alternante que no cumple que bn+1≤ bn para toda n, ni tampoco cumple que límn→∞bn=0 ya que (n+1)>n y limn→∞(n)→∞. O sea, no cumple con el criterio de Leibniz.
Vamos con un planteo alternativo.
Tienes las suma:
S = Σ[n=1;101] (-1)n+1(2n),
aquí desarrollas, y queda:
S = 2 - 4 + 6 - 8 + 10 - 12 ... + 194 - 196 + 198 - 200 + 202,
aquí ordenas términos según su signo, los asocias, extraes factor común -1 con los términos negativos, y queda:
S = (2 + 6 + 10 + ... + 194 + 198 + 202) - 1*(4 + 8 + 12 + ... + 196 + 200),
a continuación extrae factor común 2 en el primer agrupamiento, extraes factor común 4 en el segundo agrupamiento, resuelves el coeficiente en el segundo término, y queda:
S = 2*(1 + 3 + 5 + ... + 97 + 99 + 101) - 4*(1 + 2 + 3 + ... + 49 + 50) (1).
Luego, observa que en el primer agrupamiento tienes una suma aritmética, cuya deferencia es: d = 2,
cuyo término general tiene la forma: ak = 1 + (k - 1)*2,
cuyo primer término es: a1 = 1, y cuyo último término es: a51 = 1 + (51 - 1*2 = 101,
a continuación planteas la suma de los cincuenta y un términos, y queda:
Sa = (a1 + a51)*51/2 = (1 + 101)*51/2 = 512 = 2601 (2).
Luego, observa que en el segundo agrupamiento tienes una una suma aritmética, cuya diferenica es: D = 1,
cuyo término general tiene la forma: br = b1 + (r - 1)*1,
cuyo primer término es: b1 = 1, y cuyo último término es: b50 = 1 + (50 - 1)*1 = 50,
a continuación planteas la suma de los cincuenta, y queda:
Sb = (b1 + b50)*50/2 = (1 + 50)*50/2 = 51*50/2 = 1275 (3).
Luego, reemplazas los valores señalados (2) (3) en la ecuación señalada (1), resuelves, y queda:
S = 2*2601 - 4*1275 = 5202 - 5100 = 102.
Espeor haberte ayudado.