Radio de convergencia de una serie

Vamos con una orientación.

Observa que puedes plantear el límite de la raíz enésima del término general de la serie de potencias, que al resolver la expresión en su argumento, queda:

Lím(n→+∞) |ⁿ√(a_n)| = Lím(n→+∞) |ⁿ√ [ 7ⁿ * (x - 7)ⁿ ]| = 

aquí distribuyes la raíz entre los dos factores que tienes en su argumento, y queda:

= Lím(n→+∞) |ⁿ√(7ⁿ)| * |ⁿ√[(x - 7)ⁿ]| =

aquí simplificas raíz y potencia en el primer factor, aplicas propiedades de valor absoluto en el segundo factor, y queda:

= Lím(n→+∞) |7|*ⁿ√(|x - 7|ⁿ) =

ahora resuelves la expresión en el primer factor, simplficas raíz y potencia en el segundo factor, y queda:

= Lím(n→+∞) 7*|x - 7| =

a continuación resuelves este límite (observa qu su argumento no depende de la variable "n"), y queda:

= 7|*|x - 7)|;

luego, aplicas Criterio de la Raíz, y la condición de convergencia queda:

Lím(n→+∞) |ⁿ√(a_n)| < 1,

aquí sustituyes la expresión del límite en el primer miembro, y queda: 

7*|x - 7| < 1,

ahora divides por 7 en ambos miembros, y queda:

|x - 7| < 1/7,

y aquí tienes:

- que el centro de convergencia es: x_c = 7,

- que el radio de convergencia es: R = 1/7,

y si necesitas plantear el intervalo de convergencia, recuerda que debes considerar el límite:

Lím(n→+∞) |n√(an)| = Lím(n→+∞) 7*|x - 7|| = 7*|x - 7| =1,

y de aquí tienes los dos valores a considerar:

x₁ = 7 - 1/7 = 48/7,

x₂ = 7 + 1/7 = 50/7,

para después reemplazar cada valor en la expresión de la serie que tienes en tu enunciado, y estudiar la convergencia de las dos series de potencias que te quedan.

Espero haberte ayudado.

Muchísimas gracias Antonio Silvio! Una explicación muy detallada, me ha ayudado mucho 

Otra alternativa. Saludos.