Teorema de Stokes - Integrales

Observa que las funciones que son componentes del campo vectorial F, la superficie S y su curva borde C cumplen con la hipótesis de Teorema de Stokes, por lo que pasamos a plantear y resolver la integral de línea que tienes en el segundo miembro de la ecuación integral de tu enunciado.

Luego, planteas las ecuaciones cartesianas de la curva C, y queda:

x² + y² = 9,

z = 0,

a continuación puedes proponer la parametrización con "estilo trigonométrico" para la trayectoria que permite recorrer la curva con sentido antihorario mirado desde el semieje OZ positivo:

x = 3*cost (1),

y = 3*sent (2),

z = 0 (3),

con el intervalo paramétrico: 0 ≤ t ≤ 2π; 

luego, con las expresiones señaladas (1) (2) (3), planteas la expresión de la función vectorial de posición de los puntos de la trayectoria, y queda:

r(t) = < 3*cost ; 3*sent ; 0 >, con: 0 ≤ t ≤ 2π,

aquí derivas con respecto al parámetro, y la expresión general de los vectores tangentes a la trayectoria queda:

r'(t) = < -3*sent ; 3*cost ; 0 > (4).

Luego, sustituyes las expresiones señaladas (1) (2) (3) en la expresión del campo vectorial que tienes en tu enunciado, resuelves coeficientes, y queda:

F[r(t)] = < 9*sent ; 0 ; -18*cost > (5).

Luego, planteas la expresión del producto escalar del campo vectorial "parametrizado" por el vector tangente a la trayectoria genérico, y queda:

F[r(t)] • r'(t) =

sustituyes las expresiones vectoriales señaladas (5) (4), y queda:

= < 9*sent ; 0 ; -18*cost > • < -3*sent ; 3*cost ; 0 > = 

resuelves el producto escalar, y queda:

= -27*sen²t = 

aplicas la identidad trigonométrica del cuadrado del seno de un ángulo en función del coseno de su doble, resuelves el coeficiente, y queda:

= -(27/2)*[1 - cos(2*t)] (6).

Luego, pasamos a la integral de línea que tienes en tu enunciado:

∫_C F • dr =

desarrollas la integral de línea, y queda la integral simple:

= ₀∫^2π F[r(t)] • r'(t) * dt = 

susituyes la expresión señalada (6) en el argumento de esta integral, extraes el factor constante, y queda:

= -(27/2) * ₀∫^2π [1 - cos(2*t)] * dt = 

integras (observa que indicamos con corchetes coloreados que debes evaluar con Regla de Barrow), y queda:

= -(27/2) * [ t - (1/2)*sen(2*t) ] = 

evalúas, cancelas términos nulos, y queda:

= -27/2 * [ 2π ] =

resuelves, y queda:

= -27π,

y puedes concluir que la opción señalada (d) es la respuesta correcta.

Espero habert ayudado.