Lara
Necesito ayuda urgente con este ejercicio.
3. Calcula el valor de k para que los vectores u (1, 3) y v (-3, k) sean:
a) Paralelos.
b) Ortonormales
c) Para que se cumpla |v| = 5
d) Para que el ángulo formado por los vectores u y v sea de 60º
e) Encuentra el vector unitario perpendicular a u
Gracias de antemano :)
a) Planteas la condición de paralelismo entre dos vectores en el plano ("uno es múltiplo escalar del otro"): v = a*u, con k ∈ R, a ≠ 0, y queda la ecuacion vectorial:
< -3 ; k > = a*< 1 ; 3 >, resuelves el segundo miembro, y queda: < -3 ; k > = < a ; 3a >, y por igualdad entre expresiones vectoriales, quedan las ecuaciones:
-3 = a,
k = 3a, aquí reemplazas el valor remarcado, resuelves, y queda: k = -9.
b) Planteas la condición de ortogonalidad entre los vectores (su producto escalar es igual a cero): u•v = 0, y queda la ecuación vectorial:
< 1 ; 3 >•< -3 ; k > = 0, desarrollas el producto escalar, y queda: -3 + 3k = 0 (1), y de aquí despejas: k = 1, y queda que reemplaces este valor en la expresión del segundo vector, calcules los módulos de ambos vectores, y dividas a los dos vectores a fin de obtener las expresiones de sus vectores unitarios asociados, los cuales son ortonormales.
c) Tienes la condición de tu enunciado: |v| = 5, sustiutuyes la expresión del módulo del vector, y queda: √([-3]2 + k2) = 5, elevas al cuadrado en ambos miembros, resuelves el pormer término, y queda: 9 + k2 = 25, de aquí despejas: k2 = 16, y de aquí tienes dos opciones: k1 = -4 o k2 = 4.
d) Plantes la expresión de los módulos de los vectores (te dejo los planteos), y queda: |u| = √(10) y |v| = √(9 + k2); luego, plantes la expresión del produto escalar de los vectores: u•v = |u|*|v|*cosθ, sustituyes la expresión del producto escalar señalada (1), sustituyes las expresiones de los módulos de los vectores, reemplazas el valor de la medida del ángulo determinado por los dos vectores, y queda:
-3 + 3k = √(10)*√(9 + k2)*cos(60°), reemplazas el valor trigonométrico, y queda: -3 + 3k = √(10)*√(9 + k2)*(1/2), multiplicas por 2 en todos los términos, y queda: -6 + 6k = √(10)*√(9 + k2), elevas al cuadrado en ambos miembros, resuelves raíces y potencias en el segundo miembro, y queda:
(-6 + 6k)2 = 10(9 + k2), desarrollas ambos miembros, y queda: 36 - 72k + 36k2 = 90 + 10k2, restas 90 y restras 10k2 en ambos miembros, ordenas términos, y queda: 26k2 - 72k - 54 = 0, divides por 2 en todos los términos, y queda: 13k2 - 36k - 27 = 0, que es una ecuación polinómica cuadrática, cuyas soluciones son: k1 = (18 - 15√[3])/13 y k2 = (18 - 15√[3])/13.
e) Remplazas el valor remarcado que hemos obtenido al resolver el inciso (b), y la expresión del vector v queda: v = < -3 ; 1 >, planteas la expresión de su módulo (te dejo los cálculos), y queda: |v| = √(10); luego, observa que tienes dos opciones:
V1 = v/|v| = < -3 ; 1 >/√(10) > = < -3/√(10) ; 1/√(10) >, y v2 = -v/|v| = -< -3 ; 1 >/√(10) > = < 3 ; -1 >/√(10) > = < 3/√(10) ; -1/√(10) >,
que son las expresiones de los dos vectores unitarios que son perpendiculares al vector u.
Espero haberte ayudado.